Шарики на вращающемся диске

Перейдите во вращающуюся систему: шарик движется по дуге вокруг точки \(A\), и равновесие определяется условием \(F_{тр}\le\mu mg\) для составляющей центробежной силы поперёк нити.

\(\beta=\pi/4\) при \(\omega\le\omega_0=\sqrt{\mu g/a}\approx4{,}4\) с\(^{-1}\); \(\beta=\dfrac{3\pi}{4}-\arcsin\dfrac{\mu g}{a\omega^2}\) при \(\omega_0\le\omega\le\omega_1\approx6{,}3\) с\(^{-1}\); \(\beta=0\) при \(\omega>\omega_1\).

10.3 Задачу удобно решать во вращающейся неинерциальной системе отсчета, связанной с центром диска. В этой системе необходимо учитывать центробежную силу инерции \(m\omega^{2}r\), направленную радиально от оси вращения. (Заметим, что, в принципе, можно решать и в инерциальной системе отсчета.)

При раскручивании диска действие центробежной силы приведет к тому, что нити, удерживающие шарики, будут все время натянуты. Следовательно, они будут двигаться по дугам окружностей вокруг точки \(A\), а силы трения будут направлены перпендикулярно нитям. Пусть угловая скорость вращения диска равна \(\omega\). Определим области положения равновесия шариков. В проекции на направление перпендикулярное нити условие равновесия можно записать в виде (см. рисунок, сила натяжения нити за ненадобностью не показана)

\[F_{m.p.} = m\omega^{2}r\sin\alpha.\tag{1}\]

Учитывая, что треугольник \(OAC\) равнобедренный, расстояние до центра можно выразить в простом виде \(r = 2a\cos\alpha\), тогда уравнение (1) преобразуется к виду

\[F_{m.p.} = m\omega^{2}r\sin\alpha = m\omega^{2} \cdot 2a\cos\alpha\sin\alpha = ma\omega^{2}\sin\varphi.\tag{2}\]

Сила трения покоя удовлетворяет условию \(F_{m.p.} \le \mu mg\). Поэтому условие равновесия шарика при заданной угловой скорости вращения имеет вид

\[ma\omega^{2}\sin\varphi \le \mu mg,\tag{3}\]

или

\[\sin\varphi \le \frac{\mu g}{a\omega^{2}}.\tag{4}\]

При \(\omega \le \omega_{0} = \sqrt{\frac{\mu g}{a}} \approx 4{,}4c^{-1}\) в любом положении на рассматриваемой окружности шарик будет находится в равновесии. При дальнейшем увеличении угловой скорости область равновесия будет сужаться (на рис. заштрихована). Таким образом, когда угловая скорость достигнет величины \(\omega_{0}\) первый шарик сдвинется с места и с увеличением скорости вращения будет смещаться вслед за границей области устойчивости. Когда угловая скорость

достигнет величины \(\omega_1 = \sqrt{\frac{\mu g}{a \sin \varphi_0}} \approx 6{,}3 c^{-1}\), начнет движение второй шарик, а первый в это время будет находится в точке \(B\). Сразу после начала движения второй шарик попадает в область отсутствия равновесия и, следовательно, также устремится к точке \(B\), где догонит первый шарик. Дальше они будут двигаться вместе. Таким образом, угол между нитями подчиняется следующим

закономерностям

\[\beta = \begin{cases} \frac{\pi}{4}, & \text{при } 0 \le \omega \le \omega_0; \\ \frac{3\pi}{4} - \arcsin \frac{\mu g}{a \omega^2}, & \text{при } \omega_0 \le \omega \le \omega_1; \\ 0, & \text{при } \omega > \omega_1 \end{cases}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.