Брусок на клине с растущим ускорением

Перейдите в систему отсчёта клина или запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на направления силы трения и нормальной реакции. Скольжение начнётся, когда сила трения покоя достигнет предельного значения \(\mu N\).

Рассмотрим движение бруска вместе с клином до начала скольжения. На брусок действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила нормальной реакции \(\vec N\) и сила трения покоя \(\vec F\). Вектор \(\vec F\) направлен вверх вдоль поверхности клина. Запишем второй закон Ньютона для бруска: \[m\vec a = m\vec g + \vec N + \vec F.\] Проецируя это равенство на направления векторов \(\vec F\) и \(\vec N\), получаем: \[ma\cos\alpha = F - mg\sin\alpha \;\Rightarrow\; F = m(g\sin\alpha + a\cos\alpha),\] \[-ma\sin\alpha = N - mg\cos\alpha \;\Rightarrow\; N = m(g\cos\alpha - a\sin\alpha).\] Брусок начинает скользить по клину, когда сила трения покоя \(F\) достигает своего максимального значения, равного силе трения скольжения \(\mu N\): \[m(g\sin\alpha + a\cos\alpha) = \mu m(g\cos\alpha - a\sin\alpha) \;\Rightarrow\; a = \frac{g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}.\] Подставляя сюда \(a = a_0\,(T/t_0)\), находим время \(T\): \[T = t_0\cdot\frac{g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}{a_0(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} = t_0\cdot\frac{g}{a_0}\cdot\frac{\mu - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \mu\operatorname{tg}\alpha} = 6\ \text{с}.\]