Чемодан в тормозящем поезде
5/10Подходящий к станции поезд движется со скоростью \(V = 36\) км/ч. Один из пассажиров поставил чемодан на пол длинного коридора вагона. Но тут поезд начал тормозить, двигаясь до полной остановки равнозамедленно с ускорением, равным по модулю \(a = 2\) м/с\(^2\). Чемодан при этом стал скользить по полу и прошёл до своей полной остановки путь \(S = 12\) м относительно вагона. Определите коэффициент трения между чемоданом и полом, а также модуль максимальной скорости, которую имел чемодан относительно вагона.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧемодан скользит с постоянным ускорением \(\mu g\), поезд тормозит с ускорением \(a\). Запишите движение чемодана относительно вагона и подумайте, в какой момент их относительная скорость максимальна.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветКоэффициент трения \(\mu = \dfrac{aV^2}{g(2aS+V^2)} = \dfrac{5}{37} \approx 0{,}135\); максимальная скорость чемодана относительно вагона \(u_{\max} = \dfrac{2aSV}{2aS+V^2} \approx 3{,}24\) м/с.
Шайба в полости и ускорение
5/10На горизонтальной протяжённой плоскости находится брусок, в котором сделана шарообразная полость радиусом \(R = 0{,}2\) м (см. рисунок, представленный ниже). В нижней точке полости лежит маленькая шайба. Изначально система покоится. В некоторый момент брусок начинает двигаться горизонтально с ускорением \(a\) под действием внешней силы. Шайба при этом тоже приходит в движение. Трение в системе отсутствует. Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным 10 м/c\(^2\).
(1 балл) При каком минимальном значении \(a_{\min}\) ускорения бруска шайба в процессе движения достигнет точки \(A\)? Ответ дайте в м/c\(^2\), округлите до целого.
(2 балла) Пусть ускорение бруска равно \(a = g\sqrt{3}\). Найдите скорость шайбы относительно полости в момент, когда она проходит точку \(A\), лежащую на горизонтальном диаметре полости. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПерейдите в систему отсчёта бруска: там на шайбу действует ещё и сила инерции, то есть вместо \(\vec g\) можно ввести эффективное ускорение свободного падения. Куда оно направлено и чему равно?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_{\min} = g = 10\) м/c\(^2\); 2) \(v = \sqrt{2gR\left(\sqrt{3}-1\right)} \approx 1{,}7\) м/с.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПерейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с бруском. Сила инерции, возникающая в этой системе отсчёта, может быть учтена введением эффективного ускорения свободного падения \(\vec g_{\text{эфф}} = \vec g - \vec a\). В условиях второго вопроса \(\vec g_{\text{эфф}}\) составляет угол \(\pi/6\) с горизонтом, при этом \(|\vec g_{\text{эфф}}| = 2g\). Искомая относительная скорость находится по закону сохранения энергии.
Шайба в полости и ускорение
5/10На горизонтальной протяжённой плоскости находится брусок, в котором сделана шарообразная полость радиусом \(R = 0{,}2\) м (см. рисунок, представленный ниже). В нижней точке полости лежит маленькая шайба массой \(m = 0{,}1\) кг. Изначально система покоится. В некоторый момент брусок начинает двигаться горизонтально с ускорением \(a\) под действием внешней силы. Шайба при этом тоже приходит в движение. Трение в системе отсутствует. Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным \(10\) м/c\(^2\).
(1 балл) При каком минимальном значении \(a_{\min}\) ускорения бруска шайба в процессе движения достигнет точки \(A\)? Ответ дайте в м/c\(^2\), округлите до целого.
(2 балла) Пусть ускорение бруска равно \(a = g\sqrt{3}\). Определите силу, с которой шайба действует на брусок, когда она проходит точку \(A\), лежащую на горизонтальном диаметре полости. Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ системе отсчёта бруска добавляется сила инерции. Как выглядит движение шайбы в поле «эффективной» силы тяжести, и где в этом поле «нижняя» точка?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_{\min} = g = 10\) м/c\(^2\); 2) \(N = mg(3\sqrt{3} - 2) \approx 3\) Н.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПерейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с бруском. Сила инерции, возникающая в этой системе отсчёта, может быть учтена введением эффективного ускорения свободного падения \(\vec g_{\text{эфф}} = \vec g - \vec a\). В условиях второго вопроса \(\vec g_{\text{эфф}}\) составляет угол \(\pi/6\) с горизонтом, при этом \(|\vec g_{\text{эфф}}| = 2g\).
Сингулярность
5/10На горизонтальной поверхности находятся два тела: длинная доска высотой \(h\) и однородный цилиндр радиусом \(R = 2h\), которые касаются друг друга (см. рисунок). Масса цилиндра равна \(M\). Коэффициенты трения между цилиндром и поверхностью, а также между самими телами, одинаковы и равны \(\mu\).
Доска движется с постоянным горизонтальным ускорением \(a\), направленным перпендикулярно линии контакта с цилиндром. Ускорение свободного падения равно \(g\).
При каких значениях ускорения \(a\) доски цилиндр не будет поворачиваться вокруг горизонтальной оси, если коэффициент трения \(\mu\) может принимать любые значения больше нуля?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПерейдите в систему отсчёта, где цилиндр покоится: в ней действует «эффективная тяжесть» \(M(\vec g - \vec a)\). Цилиндр не вращается, если три силы — эффективная тяжесть, реакция пола (она отклонена от вертикали на угол трения, ведь цилиндр по полу скользит) и реакция доски — пересекаются в одной точке.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветПри \(\mu < \sqrt3\): \(\dfrac{g}{\sqrt3} < a < \sqrt3\,g\); при \(\mu > \sqrt3\): \(a > \sqrt3\,g\); при \(\mu = \sqrt3\): \(a = \sqrt3\,g\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПервый способ. Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, движущуюся влево с ускорением \(\vec a\). В этой системе цилиндр покоится, и на него действует эффективная сила тяжести: \[M\vec g_\text{эф} = M\vec g - M\vec a.\]
Заметим, что с увеличением ускорения \(a\) угол \(\gamma\) между вертикалью и вектором \(M\vec g_\text{эф}\) увеличивается.
Расставим силы, действующие на цилиндр в этой системе отсчёта:
сила реакции \(Q\) со стороны горизонтальной поверхности, направленная под углом \(\varphi\) к вертикали. \(\operatorname{tg}\varphi = \mu\), так как происходит движение с проскальзыванием.
Сила реакции \(Q_1\) со стороны доски направлена под некоторым углом \(\alpha\) к радиусу, проведённому в точку касания.
Случай 1: \(\mu < \sqrt3\), линия действия силы \(Q\) проходит левее точки контакта цилиндра с доской (точки \(A\)). Для равновесия цилиндра необходимо, чтобы силы \(Q\), \(Q_1\) и \(Mg_\text{эф}\) пересекались в одной точке (по теореме о трёх непараллельных силах). Угол \(\varphi\) фиксирован, а угол \(\alpha\) увеличивается при уменьшении ускорения \(a\). Максимальное значение угла \(\alpha\) равно \(\varphi\): \[\alpha_\text{max} = \varphi.\] Из геометрии задачи следует, что при \(\alpha = \varphi\) угол между эффективной силой тяжести и вертикалью равен \(30^\circ\). Следовательно: \[a_\text{min} = g\operatorname{tg}30^\circ = \frac{g}{\sqrt3}.\] С увеличением ускорения \(a\) угол \(\alpha\) уменьшается, пока \(Mg_\text{эф}\) и \(Q_1\) не станут направленными вдоль одной прямой. Дальнейшее увеличение \(a\) приведёт к нарушению равновесия, и цилиндр начнёт закатываться на доску. При этом сила реакции \(Q\) станет равной нулю. Следовательно: \[a_\text{max} = g\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt3\,g,\] \[\frac{1}{\sqrt3}g < a < \sqrt3\,g.\]
Случай 2: \(\mu > \sqrt3\). Линия действия силы \(Q\) проходит ниже точки контакта цилиндра с доской.
По теореме о трёх непараллельных силах, с учётом того, что \(0 < \alpha \leqslant \varphi\), получаем два возможных диапазона для угла \(\gamma\), при которых три силы пересекаются в одной точке:
\(\gamma \in [0;\,30^\circ]\) и вектор \(Q\) направлен в точку пересечения трёх сил.
\(\gamma \in (60^\circ;\,90^\circ)\) и продолжение вектора \(Q\) в обратном направлении проходит через точку пересечения трёх сил (см. рис.).
Случай 3: \(\mu = \sqrt3\).
\(\varphi = 60^\circ\), линия действия силы \(Q\) проходит через точку \(A\). Тогда либо линии действия сил \(Q\) и \(Q_1\) совпадают, либо пересекаются в точке \(A\). Первое невозможно, так как в этом случае для выполнения условия равновесия \(Mg_\text{эф}\) должна быть параллельна \(Q\) и \(Q_1\), чего быть не может. Значит, линии действия сил \(Q\) и \(Q_1\) пересекаются в точке \(A\). Тогда по теореме о трёх непараллельных силах \(Mg_\text{эф}\) тоже направлена в точку \(A\), откуда однозначно находим значение ускорения: \[a = \sqrt3\,g.\]
Второй способ. Расставим силы, действующие на цилиндр, и запишем теорему о движении центра масс для цилиндра в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
\[\begin{cases} Oy:\ N_1 + N\sin\alpha - F_\text{тр}\cos\alpha - Mg = 0;\\ Ox:\ N\cos\alpha + F_\text{тр}\sin\alpha - F_{\text{тр}1} = Ma. \end{cases}\] Из условия задачи можем найти угол \(\alpha\): \[\sin\alpha = \frac{R - h}{R} = 0{,}5 \;\Longrightarrow\; \alpha = 30^\circ.\] Так как цилиндр скользит по горизонтальной поверхности, сила трения равна соответственно: \[F_{\text{тр}1} = \mu N_1.\] Для того чтобы цилиндр не вращался, должно выполняться правило моментов относительно его центра: \[F_\text{тр}R = F_{\text{тр}1}R \;\Longrightarrow\; F_\text{тр} = F_{\text{тр}1} = \mu N_1.\] Формально, предыдущее уравнение необходимо писать в системе отсчёта центра масс цилиндра. Но при переходе в неинерциальные системы отсчёта, силы инерции прикладываются к центру масс тела, соответственно не создают момента сил относительно него. Подставим значения сил трения в систему уравнений: \[\begin{cases} Oy:\ N_1 + N\sin\alpha - \mu N_1\cos\alpha - Mg = 0;\\ Ox:\ N\cos\alpha + \mu N_1\sin\alpha - \mu N_1 = Ma. \end{cases}\] Для выполнения условия равноускоренного движения цилиндра без вращения необходимо выполнение следующих соотношений: \[\begin{cases} N_1 > 0,\\ F_\text{тр} \leqslant \mu N \;\Longrightarrow\; N_1 \leqslant N. \end{cases}\] Первое условие гарантирует контакт цилиндра с горизонтальной поверхностью, второе гарантирует отсутствие проскальзывания между цилиндром и доской. Из уравнения на вертикальную ось выразим \(N_1\): \[N_1 = \frac{Mg - N\sin\alpha}{1 - \mu\cos\alpha}.\] Подставим значение \(N_1\) в уравнение на горизонтальную ось: \[N\cos\alpha + \mu(N\sin\alpha - Mg)\frac{1 - \sin\alpha}{1 - \mu\cos\alpha} = Ma.\] Сгруппируем слагаемые с \(N\) с одной стороны равенства: \[N\left(\cos\alpha + \mu\sin\alpha\frac{1 - \sin\alpha}{1 - \mu\cos\alpha}\right) = M\left(a + \mu g\frac{1 - \sin\alpha}{1 - \mu\cos\alpha}\right).\] Домножим обе стороны равенства на \((1 - \mu\cos\alpha)\): \[N\left(\cos\alpha - \mu\cos^2\alpha + \mu\sin\alpha - \mu\sin^2\alpha\right) = M\left[a(1 - \mu\cos\alpha) + \mu g(1 - \sin\alpha)\right],\] откуда получаем выражение для значения \(N\): \[N = M\frac{a(1 - \mu\cos\alpha) + \mu g(1 - \sin\alpha)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha - \mu}.\] Подставляя значение для угла \(\alpha = 30^\circ\): \[N = M\frac{a(2 - \sqrt3\mu) + \mu g}{\sqrt3 - \mu}.\] Подставляя это выражение в выражение для силы \(N_1\): \[N_1 = M\frac{\sqrt3 g - a}{\sqrt3 - \mu}.\] Теперь, чтобы получить возможные значения для \(a\), нам необходимо проанализировать неравенство \(0 < N_1 < N\). Видим, что в знаменателе \(N\) и \(N_1\) есть сингулярность при определённом значении коэффициента трения \(\mu = \sqrt3\). Рассмотрим по отдельности три случая.
Случай 1: \(\mu < \sqrt3\). \[N_1 > 0 \;\Longrightarrow\; \sqrt3 g > a \;\Longrightarrow\; a < \sqrt3 g.\] \(N_1 < N\): \[M\frac{\sqrt3 g - a}{\sqrt3 - \mu} < M\frac{a(2 - \sqrt3\mu) + \mu g}{\sqrt3 - \mu} \;\Longrightarrow\; \sqrt3 g - a < a(2 - \sqrt3\mu) + \mu g,\] откуда получаем \(a > \dfrac{1}{\sqrt3}g\). \[\frac{1}{\sqrt3}g < a < \sqrt3 g.\]
Случай 2: \(\mu > \sqrt3\). \[N_1 > 0 \;\Longrightarrow\; \sqrt3 g < a \;\Longrightarrow\; a > \sqrt3 g.\] \(N_1 < N\): \[M\frac{\sqrt3 g - a}{\sqrt3 - \mu} < M\frac{a(2 - \sqrt3\mu) + \mu g}{\sqrt3 - \mu} \;\Longrightarrow\; \sqrt3 g - a > a(2 - \sqrt3\mu) + \mu g,\] откуда получаем \(a > \dfrac{1}{\sqrt3}g\). Первое условие более строгое, чем второе, откуда получаем ответ: \[a > \sqrt3 g.\]
Случай 3: \(\mu = \sqrt3\). Этот случай нельзя напрямую проанализировать из полученных уравнений, т. к. знаменатель дробей обращается в ноль. Чтобы получить ответ для этого случая, вернёмся к исходной системе уравнений и подставим значение угла \(\alpha = 30^\circ\) и коэффициента трения \(\mu = \sqrt3\): \[\begin{cases} N_1 + \dfrac12 N - \dfrac32 N_1 - Mg = 0,\\[2mm] \dfrac{\sqrt3}{2}N + \dfrac{\sqrt3}{2}N_1 - \sqrt3 N_1 = Ma. \end{cases}\] Из первого уравнения системы получаем: \[N = 2Mg + N_1.\] Подставим это выражение во второе уравнение системы: \[\sqrt3 Mg + \frac{\sqrt3}{2}N_1 + \frac{\sqrt3}{2}N_1 - \sqrt3 N_1 = Ma,\] откуда находим единственное решение системы: \[a = \sqrt3 g.\]
Жёлоб, ускоренно движущийся вверх
3/10В системе жёлоба действует эффективное ускорение свободного падения g+a; энергия шайбы в этой системе даёт относительную скорость в нижней точке.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Самолёт на экваторе
4/10Самолёт летит вдоль экватора на восток и на запад: скорость относительно оси Земли разная, значит различна центростремительная часть силы тяжести, и вес груза на пружинных весах отличается; найти разность показаний (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар в воде во вращающемся коническом сосуде
5/10Шар на дне конического сосуда, вращающегося вместе с водой; в покое — сила давления с учётом Архимеда, при вращении — сила Архимеда во вращающейся жидкости (градиент давления даёт «центробежную» добавку) плюс уравнение движения шара по окружности. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающаяся жидкость как зеркало
5/10Свободная поверхность вращающейся жидкости — параболоид; радиус кривизны в нижней точке g/ω², он же даёт параболическое зеркало, фокус которого определяет расстояние до изображения Солнца (лучи параллельны оси). (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик в пробирке на роторе ультрацентрифуги
6/10В пробирке с водой на быстро вращающемся роторе шарик прижат ко дну: в неинерциальной системе действует центробежная «сила тяжести», вода создаёт архимедову силу в этом поле; сила давления на дно или период вращения. (билеты 10-04, 10-05)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок на клине с растущим ускорением
6/10Клин ускоряется по линейному закону; в его системе действует сила инерции, и из условия предельного трения находится время начала скольжения или коэффициент трения (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Айс
6/10Бусинка на ледяной корке на поверхности вращающейся воды (параболоид): в системе вращения форма поверхности — эквипотенциаль; найти период малых колебаний около оси.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Клин, брусок и шарик на нити через блок
6/10Клин движется с постоянным ускорением, нить через блок на клине связывает шарик и брусок; по углу нити с вертикалью (в системе клина — эффективная тяжесть) находим ускорение клина, ускорение бруска относительно клина и время падения шарика. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок в разгоняющемся аквариуме
6/10Брусок лежит на наклонной плоскости под водой в аквариуме, движущемся с ускорением; у силы Архимеда появляется горизонтальная составляющая ρVa, из условия трения покоя найти минимальное ускорение.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Трубка на центрифуге
7/10Поршень в трубке с газом на медленно раскручиваемой центрифуге: баланс центробежной силы и давления изотермического газа, потеря устойчивости положения равновесия, смещение поршня и гистерезис при уменьшении угловой скорости.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Грузик в тормозящем вагоне
4/10Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением \(a = 0{,}2\) м/с\(^2\), вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рис.). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом \(T = 1\) с. Найдите амплитуду колебаний грузика.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока поезд тормозит, пружина деформирована так, что её сила сообщает грузику ускорение \(a\). После остановки эта деформация и есть начальное смещение от положения равновесия.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(x_m = \dfrac{aT^2}{4\pi^2} \approx 5\) мм.
Вагонетка с грузом на вогнутом мосту
5/10По вогнутому мосту, образующему дугу окружности радиусом \(R\), движется вагонетка массой \(M\). К вагонетке привязан трос длиной \(L\), на конце которого закреплён груз массой \(m\) (см. рисунок). В момент, когда вагонетка проходила нижнюю точку моста, трос был расположен вертикально, а скорости вагонетки и груза были равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Найдите в этот момент силу натяжения троса \(T\) и силу \(N\), с которой вагонетка давит на рельсы. Трос невесом и нерастяжим, трение не учитывать, размерами вагонетки и груза пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГруз движется относительно вагонетки по окружности радиуса \(L\) со скоростью \(v_2 - v_1\); в системе вагонетки (неинерциальной) к нему добавляется сила инерции.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T = m\left(g + \dfrac{v_1^2}{R} + \dfrac{(v_1 - v_2)^2}{L}\right)\); \(N = (m+M)\left(g + \dfrac{v_1^2}{R}\right) + m\dfrac{(v_1 - v_2)^2}{L}\).
Монета в чаше на столе
6/10На гладком горизонтальном столе находится чаша массой \(M\) с полусферической выемкой радиусом \(R\) с гладкими стенками (смотри рисунок). На самый край выемки чаши поместили монету массой \(m\), размеры которой значительно меньше размеров выемки. В начальный момент монета и чаша друг относительно друга не двигались. Монету и чашу одновременно отпустили. С каким ускорением движется монета, проходя самое нижнее положение?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГоризонтальный импульс системы сохраняется, и энергия тоже. В нижней точке удобно перейти в систему отсчёта чаши: там монета движется по окружности радиуса \(R\), а сама чаша в этот момент не ускоряется по горизонтали.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(a = \dfrac{2g(M+m)}{M}\), ускорение направлено вертикально вверх.
Колебания внутри трубы
6/10Внутри горизонтально расположенной трубы радиусом \(R\), вращающейся с некоторой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, находится небольшое тело. В положении равновесия тело располагается ниже оси трубы, на расстоянии \(0{,}8R\) по вертикали от неё. Найдите период малых колебаний тела в плоскости, перпендикулярной оси трубы.
Примечание. Для малого угла \(\delta\) (\(\delta \ll 1\)) и произвольного угла \(\alpha\) справедливы приближённые равенства: \(\sin(\alpha+\delta) \approx \sin\alpha + \delta\cos\alpha\), \(\cos(\alpha+\delta) \approx \cos\alpha - \delta\sin\alpha\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТело покоится относительно стенки только благодаря трению: что говорит о коэффициенте трения угол, под которым оно сидит в равновесии? Запишите второй закон Ньютона вдоль трубы при малом смещении.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{4R}{5g}}\).
Нецентральный удар
6/10Две одинаковые шайбы массой \(m\), связанные нерастяжимой лёгкой нитью, движутся по горизонтальной гладкой поверхности со скоростью \(v\), как показано на рисунке.
Нить не провисает, но и не натянута. В процессе движения нить налетает на гвоздь. Длины отрезков нити между шайбами и гвоздём равны \(l\) и \(L\). Трение между нитью и гвоздём отсутствует.
Найдите силу натяжения нити сразу после того, как нить коснётся гвоздя, а также ускорение точки нити, соприкасающейся с гвоздём в этот момент времени.
Определите радиусы кривизны траекторий шайб в момент, когда нить коснётся гвоздя.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила натяжения нити одинакова по обе стороны от гвоздя (трения нет), а нить нерастяжима. Что это говорит об ускорениях шайб вдоль нити и о радиусах кривизны их траекторий в этот момент?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T = mv^2\,\dfrac{L+l}{2Ll}\), \(a = v^2\,\dfrac{L-l}{2Ll}\); 2) \(R = \dfrac{2Ll}{L+l}\).
Центробежный регулятор
7/10На рисунке изображена упрощённая модель центробежного регулятора. Два одинаковых тяжёлых груза при помощи лёгких жёстких стержней с длинами \(a\) и шарниров соединены с вращающимся валом, ось которого вертикальна. Конструкция шарниров позволяет стержням свободно отклоняться от этой оси, однако грузы и вал вращаются с одинаковой угловой скоростью \(\omega\), которая поддерживается постоянной при помощи внешнего привода. Установившиеся при вращении равновесные положения стержней таковы, что угол между стержнями равен \(90^\circ\). Определите период малых колебаний грузов относительно положения равновесия при вращении. Трения в шарнирах и в подшипниках крепления вала нет. Размеры грузов малы по сравнению с длиной стержней.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПерейдите во вращающуюся систему отсчёта: на груз действуют сила тяжести, сила реакции стержня и центробежная сила. Энергию в неподвижной системе сохранять нельзя "— привод совершает работу.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветПериод малых колебаний грузов относительно положения равновесия равен \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a\sqrt{2}}{g}}\).
F-ускорение
8/10F-образную трубку целиком заполнили ртутью, как показано на рисунке. Длина каждого колена трубки равна \(L = \dfrac{p_0}{3\rho g}\), где \(p_0\) "— атмосферное давление, \(\rho\) "— плотность ртути, \(g\) "— ускорение свободного падения. Трубку начинают двигать горизонтально с плавно возрастающим ускорением \(a\) (см. рисунок). Площадь сечения трубки \(S\) мала (\(\sqrt{S} \ll L\)). Давлением паров ртути можно пренебречь.
Определите объём вылившейся из трубки ртути, когда ускорение станет равным \(g\). Чему равно давление ртути на левом конце горизонтальной части трубки в этот момент времени?
Рассчитайте суммарный объём воздуха в трубке при ускорении, равном \(3g\). Приведите схематический рисунок распределения ртути в трубке.
Ответьте на вопросы пункта б) для случая \(a = 4g\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ ускоренно движущейся трубке давление в ртути растёт вдоль направления, противоположного ускорению, на \(\rho a\) на единицу длины. Следите за тем, где давление на конце столбика упало бы ниже нуля: там ртуть оторвётся и образуется воздушная полость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = Sl\), \(p = 2\rho g l\); 2) \(V_{\text{в2}} = \dfrac{5}{3}Sl\); 3) \(\dfrac{7}{4}Sl\).
Маятник в лифте
2/10В лифте с ускорением вниз эффективное ускорение свободного падения уменьшается на a; период пересчитывается.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Почему медицинский термометр не остывает
3/10Качественно: сужение в трубке разрывает ртутный столбик при остывании, потому показание сохраняется; при встряхивании ртуть по инерции проходит в колбу.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Трубка с жидкостью движется с ускорением
4/10Запаянная Г-образная трубка с жидкостью движется с горизонтальным ускорением: давление в изгибе — гидростатическое от вертикального столба, а давление у запаянного конца отличается на ρal из второго закона Ньютона для столбика жидкости в горизонтальном колене. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайба на движущемся клине
4/10В системе клина на шайбу действует сила инерции; шайба не скользит при ускорении между двумя предельными значениями с трением вверх и вниз по склону.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Блок, поднимаемый с ускорением
4/10Блок движется вверх с ускорением, и натяжение нити определяется движением тела m относительно блока; второе тело оторвётся, когда натяжение сравняется с его весом, откуда предельное ускорение блока.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающаяся изогнутая трубка с жидкостью
5/10Трубка с жидкостью вращается вокруг вертикальной оси, вертикальные колена на расстояниях R и kR от оси: горизонтальный столбик жидкости движется с центростремительным ускорением центра масс, разность давлений на его концах ρgH, откуда связь H и ω. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поплавок в ракете
5/10Поплавок на пружине в аквариуме с ракетой, летящей с ускорением: сила Архимеда растёт как ρ0V(g+a) — в неинерциальной системе эффективное g увеличивается; из баланса сил с пружиной найти смещение выступающей части.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающаяся трубка
5/10Замкнутая трубка с воздушным столбиком вращается вокруг оси; в системе вращения центробежная сила создаёт градиент давления в ртути, высота подъёма ртути в отводе меняется на ρω²R²/2g, а давление воздуха изотермически меняется в n раз — найти ω.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ртуть в Г-образной трубке
5/10Ртуть в Г-образной трубке, движущейся горизонтально с ускорением: давление в колене меняется линейно вдоль трубки, из условия начала выливания найти давление или высоту, затем длину вылившегося слоя. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вода в U-образной трубке при ускорении
5/10U-образная трубка с воздушными слоями в вертикальных коленах движется с ускорением: разность уровней воды определяется ускорением (давление растёт вдоль горизонтального колена), найти порог выливания и вылившийся слой. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Трубка на вращающейся платформе
5/10Жидкость в трубке вращается вместе с платформой: давление растёт по закону параболы с радиусом (перепад ρω²r²/2), плюс гидростатика в вертикальном колене; найти давление в изгибе и на заданном расстоянии. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ртуть в Г-образной трубке
5/10Ртуть в Г-образной трубке при горизонтальном ускорении: давление в закрытом колене линейно меняется вдоль него; из порога выливания находят неизвестную длину, давление или высоту, затем ускорение или вылившийся слой. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вода в U-образной трубке при ускорении
5/10U-образная трубка с воздухом в вертикальных коленах ускоряется вдоль горизонтального: давление воды в колене зависит от ускорения, из порога выливания найти высоту воздушного слоя и вылившийся слой при большем ускорении. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающаяся трубка с жидкостью
5/10Запаянная трубка с жидкостью вращается на платформе: давление растёт по радиусу как ρω²r²/2, нужно найти давление в изгибе и в горизонтальном колене на заданном расстоянии от оси. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Трубка с маслом на ускоренной тележке
5/10Трубка с маслом, изогнутая под прямым углом, движется с ускорением по горизонтали: поверхность масла перпендикулярна эффективному ускорению свободного падения, откуда уровни в коленах и ускорение; после выключения ускорения масло колеблется, максимальная скорость — из энергии. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Доска с блоком и ускорением, бруски на нити
5/10На ускоряемой доске закреплён блок, два бруска связаны нитью; найти максимальное ускорение доски без проскальзывания брусков и силу натяжения при большем ускорении (трение скольжения, связь ускорений). (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Изогнутая трубка с двумя жидкостями при ускорении
5/10Запаянная с одного конца трубка с двумя несмешивающимися жидкостями едет с горизонтальным ускорением; давление в месте изгиба и у запаянного конца из гидростатики с учётом ускорения (на горизонтальных участках перепад давления равен ρaL). (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Гиря на пружине в лифте
5/10Лифт трогается вверх с ускорением; в системе лифта гиря колеблется около нового равновесия, найти скорость кабины, когда пружина впервые наиболее растянута. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик в вагоне при торможении
5/10Поезд тормозит, в системе вагона шарик на нити колеблется около наклонного положения равновесия; найти время первого отклонения на заданный угол при малых колебаниях. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик в сосуде с водой
6/10Два связанных нитями шарика во вращающемся сосуде с водой движутся по окружностям; в воде архимедова сила имеет горизонтальную составляющую (градиент давления во вращающейся жидкости), из динамики вращения найти её направление и отношение натяжений нитей.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинки на вращающемся стержне в магнитном поле
6/10Две заряженные бусинки без трения на стержне, вращающемся вокруг оси параллельной B: равновесие радиальных сил (центростремительная сила из силы Лоренца и нормальной реакции) при двух угловых скоростях даёт квадратное уравнение на q (B) и R; стержень прямой или согнутый под прямым углом. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинки на вращающемся стержне: два заряда
6/10Те же бусинки, но на одном расстоянии R равновесие при двух значениях заряда q1 и q2; из уравнения для центростремительной силы (с учётом силы Лоренца) находят угловую скорость и индукцию поля. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар на клине, удерживаемый нитью
6/10Шар на гладкой поверхности клина удерживается нитью, параллельной поверхности; найти натяжение нити или силу давления на клин в покое и при вращении вокруг вертикальной оси (нормальная реакция и нить дают центростремительную силу). (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар на клине с горизонтальной нитью
6/10Шар на гладком клине удерживается горизонтально натянутой нитью, привязанной к вершине; найти натяжение в покое и при вращении системы вокруг вертикальной оси — второй закон Ньютона по вертикали и центростремительной компоненте. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Г-образная трубка с ртутью
6/10Г-образная трубка с ртутью движется горизонтально с ускорением: давление в ртути растёт вдоль колена как ρa·x, предельное ускорение a0 (ртуть не выливается) выражается через высоту колена и атмосферное давление, найти давление в точках при ускорениях долей a0. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Маятник на тележке в туннеле
6/10Тележка в туннеле внутри Земли совершает гармоническое движение, сила тяготения внутри Земли пропорциональна расстоянию; маятник на ней чувствует эффективное ускорение, меняющееся по ходу движения, и число колебаний находят из времени прохода туннеля и частоты маятника.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Клин, на который действует горизонтальная сила
6/10Шайба на гладком клине: сначала клин держат, потом на клин действует постоянная горизонтальная сила; из уравнений движения клина и шайбы (в системе клина или с реакцией опоры) найти ускорение клина и время спуска. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два самолёта на окружностях
6/10Два самолёта идут по окружностям с равной скоростью; найти превышение веса лётчика над силой тяжести и скорость второго самолёта во вращающейся системе отсчёта первого (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Крутится, вертится
7/10Два шарика на нити плавают во вращающейся воде; в неинерциальной системе градиент давления даёт архимедову силу вдоль радиуса, из баланса сил на обоих шариках найти натяжение нити и угловую скорость.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Школьники на карусели и велосипеде
7/10Один школьник на вращающейся карусели, второй едет по прямой; сравнить веса, найти скорость первого в поступательной и второго во вращающейся системе отсчёта (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.