Задачи › Неинерциальные системы отсчёта

Грузик на пружинных весах в вагоне

  1. Грузик на пружинных весах в вагоне

    МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
    6/10

    В закрытый вагон, стоящий на рельсах, проложенных по горизонтальной поверхности, сел человек, у которого имеются пружинные весы и секундомер. Сидя лицом по направлению движения вагона (вдоль рельсов) и прицепив к пружинным весам грузик массой \(m\), человек стал наблюдать за направлением отклонения грузика и показаниями весов, фиксируя те моменты времени, когда показания изменялись.

    Вагон пришел в движение и первые \(t_1 = 4\) с грузик был отклонен к человеку, а весы показывали \(1{,}25mg\); затем время, равное \(t_2 = 3\) с, грузик висел вертикально, а весы показывали \(mg\). После этого грузик отклонился влево (поперек вагона) и при этом в течение времени \(t_3 = 25{,}12\) с весы опять показывали \(1{,}25mg\). Наконец, еще на протяжении \(t_4 = 4\) с грузик был отклонен вперед при тех же показаниях весов.

    Определите, где относительно своего первоначального положения оказался вагон и с какой скоростью он к этому моменту двигался. Считать, что при изменении направления отклонения и показаний весов человек сразу гасит рукой возникающие колебания.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    Вагон остановился на расстоянии \(s = 2s_1 + s_2 = 210\) м впереди по отношению к первоначальному положению (скорость к этому моменту равна нулю).

    Решение

    Поскольку движение происходит в горизонтальной плоскости, вертикальная составляющая силы, действующей на грузик, равна \(mg\), а горизонтальная \(F^2 - (mg)^2 = mg\sqrt{\alpha^2 - 1}\), где \(\alpha = 1{,}25\) (см. рисунок).

    Рисунок

    Горизонтальное ускорение груза (и вагона) определяется этой горизонтальной силой: \(ma = mg\sqrt{\alpha^2 - 1}\); следовательно, \(a = g\sqrt{\alpha^2 - 1} = (3/4)\,g = 7{,}5\) м/с\(^2\).

    На первом участке движения вагон ускоряется до скорости \(v = at_1 = (3/4)\,gt_1 = 30\) м/с, проходя путь \(s_1\) вперед по прямой: \[s_1 = at_1^2/2 = (3/8)\,gt_1^2 = 60\text{ м}.\] Далее время, равное \(t_2 = 3\) с, он идет с постоянной скоростью \(v\) и проходит путь \[s_2 = vt_2 = 90\text{ м}.\] Таким образом, через 7 секунд после начала движения вагон оказывается впереди на расстоянии \(s_1 + s_2 = 150\) м от исходного положения.

    На третьем участке вагон движется по закруглению дороги вправо. Так как скорость вагона, движущегося по рельсам, все время направлена вдоль вагона, то постоянное (в течение времени \(t_3 = 25{,}12\) с) поперечное ускорение \(a = (3/4)\,g\) является центростремительным, т. е. вагон движется по окружности с постоянной скоростью \(v\): \(a = v^2/R\), радиус окружности \(R = v^2/a = 120\) м. Путь вагона вдоль окружности будет равен \[s_3 = R\varphi = vt_3,\] откуда угол поворота вагона вокруг центра окружности равен \(\varphi = vt_3/R = 6{,}28 = 2\pi\) рад, т. е. вагон описывает полную окружность.

    На последнем участке вагон тормозится и останавливается, поскольку ускорение вдоль вагона равно первоначальному и действует столько же времени. Поэтому \(s_4 = s_1 = 60\) м. Вагон остановится на расстоянии \(s = 2s_1 + s_2 = 210\) м впереди по отношению к первоначальному положению (см. рисунок).

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх