Шарики в сферической чаше

Рассмотрим движение одного шарика, свободно падающего вблизи оси симметрии с высоты \(H\), начиная с момента его соударения с поверхностью. В момент удара шарик имеет начальную скорость \(v_0 = \sqrt{2gH}\) (поскольку удар абсолютно упругий), направление скорости \(v_0\) составляет угол \(2\alpha\) с вертикалью (см. рисунок).

Пусть спустя время \(t\) после соударения с поверхностью смещение шарика по горизонтали равно \(s\), тогда \(v_0\sin 2\alpha\cdot t = s\). Отсюда получаем \(t = s/(\sqrt{2gH}\sin 2\alpha)\), где \(v_0\sin 2\alpha\) — горизонтальная составляющая начальной скорости шарика (за время \(t\) шарик больше не ударяется о поверхность). Высота, на которой будет находиться шарик спустя время \(t\), равна \[\Delta h = h_0 + v_0\cos 2\alpha\cdot t - gt^2/2,\] где \(v_0\cos 2\alpha\) — вертикальная составляющая начальной скорости шарика.

Поскольку шарик начал падать с высоты \(H\) вблизи оси симметрии (угол \(\alpha\) мал), можно считать, что \(h_0 \approx 0\), \(\sin 2\alpha \approx 2\alpha\), \(\cos 2\alpha \approx 1\), \(s \approx R\alpha\). Учитывая эти и полученные выше соотношения, найдем условия попадания шарика в низшую точку сферической поверхности: \[t = s/(\sqrt{2gH}\sin 2\alpha) = R/(2\sqrt{2gH}),\] \[\Delta h \approx v_0t - gt^2/2 = R/2 - R^2/(16H) = 0.\] Отсюда получаем, что \(H = R/8\).