Пересечение двух обручей

Поскольку обруч с центром в точке \(O_1\) покоится, скорость \(v_A\) верхней точки \(A\) «пересечения» обручей в любой момент времени должна быть направлена по касательной к окружности с центром \(O_1\) (см. рисунок). Отрезок \(AB\) в любой момент времени делит расстояние \(d = OO_1\) между центрами обручей пополам, поэтому горизонтальная проекция скорости \(v_A\) все время равна \(v/2\). Следовательно, скорость \(v_A\) составляет с горизонтом угол \(\varphi = \pi/2 - \alpha\) и равна

\[v_A = v/(2\cos\varphi) = v/(2\sin\alpha).\] Поскольку \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (d/2R)^2}\), то скорость верхней точки «пересечения» обручей равна \[v_A = \dfrac{v}{2\sqrt{1 - (d/2R)^2}}.\]