Стержень у стены на нити

На стержень действуют три силы: сила \(T\) натяжения нити, сила тяжести \(mg\) и сила реакции со стороны стенки \(\vec R = \vec N + \vec F_{\text{тр}}\) (\(N\) — сила нормальной реакции стенки, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения, \(F_{\text{тр}} \leqslant \mu N\)). В состоянии равновесия стержня сумма моментов этих сил относительно любой точки равна нулю. Чтобы это условие выполнялось, линия действия силы \(R\) должна проходить через точку пересечения линий действия сил \(T\) и \(mg\) (моменты сил \(T\) и \(mg\) относительно этой точки равны нулю).

В зависимости от соотношения между углами \(\alpha\) и \(\beta\) точка пересечения линий действия сил \(T\) и \(mg\) может лежать: 1) выше перпендикуляра \(AM_0\) к стене (точка \(M_1\) на рисунке); 2) ниже этого перпендикуляра (точка \(M_2\)); 3) на нем (точка \(M_0\)). Соответственно сила трения либо направлена вдоль \(AC\) вверх (\(F_{\text{тр}1}\)), либо — вдоль \(AC\) вниз (\(F_{\text{тр}2}\)), либо равна нулю. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

1) Условие равновесия стержня: \[T\cos\alpha + F_{\text{тр}1} - mg = 0,\quad N - T\sin\alpha = 0 \tag{1}\] — равенство нулю суммы проекций всех сил на оси \(y\) и \(x\) соответственно; а также равенство моментов сил относительно точки \(A\): \[mgd_1 = Td_2,\quad\text{или}\quad (mgl/2)\sin\beta = (Tl/3)\sin(\alpha + \beta), \tag{2}\] где \(d_1\) и \(d_2\) — плечи сил \(mg\) и \(T\) соответственно. Из (1) и (2) имеем \[\mu_1 \geqslant \dfrac{F_{\text{тр}1}}{N} = \dfrac{2}{3}\dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} - \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{\operatorname{tg}\beta} - \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\right);\] этот случай осуществляется при условии \(2\operatorname{tg}\alpha > \operatorname{tg}\beta\).

2) Написав условия равновесия, найдем \[\mu_2 \geqslant \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} - \dfrac{2}{\operatorname{tg}\beta}\right).\] Этому случаю соответствует условие \(2\operatorname{tg}\alpha < \operatorname{tg}\beta\).

3) В этом случае стержень находится в равновесии при любом значении \(\mu_3\): \(2\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta\).

Таким образом, при произвольном соотношении между углами \(\alpha\) и \(\beta\) стержень находится в равновесии, если \[\mu \geqslant \dfrac{1}{3}\left|\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} - \dfrac{2}{\operatorname{tg}\beta}\right|.\]