Цилиндр и выезжающая подставка

До тех пор пока цилиндр не оторвется от опор, ось цилиндра будет всегда находиться точно посередине между опорами. Следовательно, горизонтальная составляющая скорости оси цилиндра равна \(v/2\). Поскольку все точки оси цилиндра движутся по окружности с центром в точке \(A\), полная скорость \(u\) каждой точки оси направлена в любой момент времени перпендикулярно радиусу \(OA = r\). Следовательно, все точки оси движутся с центростремительным ускорением \(a_\text{ц} = u^2/r\).

Запишем уравнение движения точки \(O\) в проекции на «центростремительную» ось: \[mg\cos\alpha - N = ma_\text{ц} = mu^2/r, \tag{1}\] где \(N\) — сила реакции со стороны неподвижной опоры. Из условия, что расстояние между точками опор равно \(r\sqrt2\), следует отсутствие вклада силы реакции со стороны подвижной подставки на «центростремительную» ось. По третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой цилиндр давит на неподвижную опору. Из уравнения (1) находим \[N = mg\cos\alpha - mu^2/r.\] В тот момент, когда расстояние между точками опор \(A\) и \(B\) (см. рисунок к условию) равно \(AB = r\sqrt2\), \[\cos\alpha = r\sqrt2/(2r) = 1/\sqrt2.\] Горизонтальная составляющая скорости точки \(O\) равна \(u\cos\alpha = v/2\), откуда \(u = v\sqrt2\). Таким образом, при \(AB = r\sqrt2\) сила давления цилиндра равна \[N = mg/\sqrt2 - mv^2/(2r).\] Для того чтобы цилиндр не оторвался от опор до того, как \(AB\) станет равным \(r\sqrt2\), должно выполняться условие \(g/\sqrt2 > v^2/(2r)\), т. е. \(v < \sqrt{gr\sqrt2}\).