Гантелька на гладком столе

Нижний шарик оторвётся, когда сила реакции стола обратится в нуль. Выразите реакцию стола через силу натяжения стержня, а натяжение — через ускорение верхнего шарика, который в этот момент движется по окружности вокруг нижнего.

\(l_{\max}=\dfrac{v^2}{2g}\): при \(l<\dfrac{v^2}{2g}\) нижний шарик отрывается сразу.

Что происходит. Удар передаёт импульс только верхнему шарику. Стержень вертикален и невесом, поэтому действует на каждый шарик вдоль вертикали, а горизонтальных сил нет: сразу после удара верхний шарик имеет скорость \(v\), нижний покоится. Стержень нерастяжим, поэтому верхний шарик начинает двигаться по дуге вокруг нижнего и имеет ускорение \(v^2/l\), направленное вниз. Чтобы так двигаться, он должен быть притянут стержнем вниз, а тогда стержень тянет нижний шарик вверх. Если эта сила больше \(mg\), стол уже не может удержать шарик: реакция \(N\) не бывает отрицательной, и шарик отрывается. Главная идея: записать второй закон Ньютона для каждого шарика и связать ускорения нерастяжимостью стержня.

Обозначения. \(m\) — масса каждого шарика; ось \(y\) направлена вверх; \(T\) — сила натяжения стержня (на верхний шарик действует вниз, на нижний — вверх); \(N\) — реакция стола; \(a_{\text{в}}\), \(a_{\text{н}}\) — вертикальные ускорения верхнего и нижнего шариков сразу после удара.

Длины стрелок на рисунке даны для \(l=\dfrac{v^2}{1{,}5\,g}\): \(T=N=0{,}5\,mg\).

1. Второй закон Ньютона для каждого шарика в проекции на ось \(y\). Предположим сначала, что нижний шарик остаётся на столе, \(a_{\text{н}}=0\): \[\text{верхний:}\quad ma_{\text{в}}=-mg-T;\qquad \text{нижний:}\quad 0=N+T-mg .\]

2. Связь ускорений. Длина стержня постоянна. Относительно нижнего шарика, который в этот момент покоится, верхний имеет скорость \(v\), перпендикулярную стержню, и движется так, что расстояние до нижнего не меняется. Тогда составляющая ускорения вдоль стержня равна \(v^2/l\) и направлена к нижнему шарику, то есть вниз. Разность вертикальных ускорений: \[a_{\text{в}}-a_{\text{н}}=-\frac{v^2}{l},\qquad\text{при } a_{\text{н}}=0:\quad a_{\text{в}}=-\frac{v^2}{l}.\] Подставим в уравнение верхнего шарика: \(-\dfrac{mv^2}{l}=-mg-T\), откуда \(T=\dfrac{mv^2}{l}-mg\).

3. Реакция стола. Из уравнения нижнего шарика \[N=mg-T=2mg-\frac{mv^2}{l}.\]

4. Условие отрыва. Стол только толкает, поэтому \(N\ge0\). Если \(2mg-\dfrac{mv^2}{l}\ge0\), то есть \(l\ge\dfrac{v^2}{2g}\), предположение \(a_{\text{н}}=0\) верно, и нижний шарик остаётся на столе. Если же \(l<\dfrac{v^2}{2g}\), получилось бы \(N<0\) — невозможно, значит, шарик на столе не останется. Проверим, что он действительно пойдёт вверх: при \(N=0\) уравнения шариков дают \(ma_{\text{в}}=-mg-T\), \(ma_{\text{н}}=T-mg\), а связь \(a_{\text{в}}-a_{\text{н}}=-\dfrac{v^2}{l}\) — \(-\dfrac{2T}{m}=-\dfrac{v^2}{l}\), откуда \(T=\dfrac{mv^2}{2l}\) и \(a_{\text{н}}=\dfrac{v^2}{2l}-g>0\) при \(l<\dfrac{v^2}{2g}\).

Обратите внимание: шарик отрывается не от ``удара вверх'' — удар горизонтальный, — а потому, что стержень тянет его вверх с силой, большей \(mg\). Реакция стола принимает только значения \(N\ge0\), поэтому условие отрыва — не равенство, а невозможность \(N\ge0\).

Второй способ. Центр масс \(C\) лежит посередине стержня и сразу после удара имеет горизонтальную скорость \(\dfrac v2\). В системе отсчёта центра масс шарики движутся по окружности радиуса \(\dfrac l2\) со скоростями \(\dfrac v2\) (рисунок ниже); центростремительное ускорение нижнего шарика направлено вверх: \(a_{\text{ц}}=\dfrac{(v/2)^2}{l/2}=\dfrac{v^2}{2l}\). Допустим, нижний шарик оторвался (\(N=0\)): на систему действует только сила тяжести, центр масс движется с ускорением \(g\) вниз, а нижний шарик относительно центра масс ускоряется вверх с \(a_{\text{ц}}\). Его ускорение относительно стола, направленное вверх, равно \(a_{\text{ц}}-g\) и положительно при \(\dfrac{v^2}{2l}>g\) — тогда допущение верно и шарик действительно уходит от стола.

Ответ: \(l_{\max}=\dfrac{v^2}{2g}\); нижний шарик отрывается сразу при \(l<\dfrac{v^2}{2g}\) (при \(l=l_{\max}\) реакция стола в первый момент равна нулю).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{(\text{м/с})^2}{\text{м/с}^2}=\text{м}\). Оба способа дали \(l_{\max}=\dfrac{v^2}{2g}\). Предел \(l\to0\): отрыв при любой скорости — у очень короткой гантельки сила стержня огромна. Предел \(v\to0\): \(l_{\max}\to0\) — без удара гантелька спокойно стоит на столе.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.