Шестигранный карандаш

Сила трения приложена к нижней грани и стремится опрокинуть карандаш вперёд. Моменту трения противостоит момент нормальной реакции, а реакция может сместиться вперёд не дальше края грани.

\(\alpha<\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}58\).

Что происходит. Карандаш скользит вправо по плоскости. Сила трения приложена к нижней грани и направлена назад, а центр масс \(O\) находится на высоте \(h\) над плоскостью. Эта пара сил (трение внизу, торможение центра масс вверху) стремится опрокинуть карандаш вперёд. Этому мешает нормальная реакция: она распределена по грани и приложена не посередине, а смещена вперёд. Смещение имеет предел — край грани. Главная идея: условие «не вращается» означает равенство нулю суммы моментов сил относительно центра масс, и из него находится нужное смещение реакции.

Обозначения. \(a\) — сторона правильного шестиугольника, она же длина нижней грани. Расстояние от центра \(O\) до грани \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}a\). \(A\) — переднее по ходу нижнее ребро. \(N\) — нормальная реакция, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения, \(s\) — расстояние от вертикали через \(O\) до точки приложения \(N\).

1. Движение по вертикали. Карандаш не движется по вертикали. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикаль: \(N=mg\).

2. Движение по горизонтали. Карандаш скользит, поэтому сила трения скольжения равна \(F_{\text{тр}}=\alpha N=\alpha mg\) и направлена против скорости. Центр масс при этом тормозится с ускорением \(\alpha g\).

3. Нет вращения. Угловое ускорение равно нулю, значит, сумма моментов сил относительно центра масс равна нулю (уравнение моментов относительно центра масс верно и при ускоренно движущемся центре). Момент силы тяжести равен нулю: сила проходит через \(O\). Сила трения лежит на расстоянии \(h\) ниже \(O\), её момент \(F_{\text{тр}}h\) стремится повернуть карандаш вперёд. Реакция \(N\) смещена вперёд на \(s\), её момент \(Ns\) поворачивает назад: \[N s=F_{\text{тр}}\,h\quad\Rightarrow\quad s=\alpha h=\alpha\,\frac{\sqrt3}{2}\,a .\]

4. Предел смещения. Нормальная реакция приложена к нижней грани, поэтому точка её приложения не может быть дальше ребра \(A\): \(s\le\dfrac{a}{2}\). Подставим \(s\) из шага 3: \[\alpha\,\frac{\sqrt3}{2}\,a\le\frac a2\quad\Rightarrow\quad \alpha\le\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}58 .\] При большем \(\alpha\) реакция «доехала» до ребра \(A\) и дальше сместиться не может: момент трения больше, и карандаш начнёт вращаться вокруг ребра \(A\) — перекатываться через него. При равенстве карандаш на грани опрокидывания, поэтому «без вращения» — строгое неравенство.

Обратите внимание: нормальная реакция не приложена к середине грани. Только смещение реакции вперёд компенсирует момент трения; если ставить \(N\) под центр масс, то без вращения не обойтись при любом \(\alpha>0\).

Ответ. \(\alpha<\dfrac1{\sqrt3}\approx0{,}58\).

Проверка. При \(\alpha\to0\) трения нет, момента нет, \(s\to0\): карандаш скользит без вращения — как и должно быть. Второй способ: в предельном случае равнодействующая \(\vec N+\vec F_{\text{тр}}\) приложена в \(A\) и направлена под углом \(\beta\) к плоскости, \(\operatorname{tg}\beta=\dfrac{N}{F_{\text{тр}}}=\dfrac1\alpha=\sqrt3\), то есть \(\beta=60^\circ\) — это угол прямой \(AO\) с плоскостью; равнодействующая проходит через центр масс и момента не создаёт. Для квадратного бруска (\(h=a/2\)) тем же способом получается \(\alpha<1\) — известный результат.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.