Метеорит пробил спутник

Давление при неизменной температуре пропорционально числу молекул в единице объёма. Оцените, сколько молекул вылетает через отверстие за время \(\tau\): вылетают те, что находятся рядом с отверстием и летят к нему.

\(\tau=6\,\dfrac{\Delta p}{p}\,\dfrac{V}{S\overline v}\approx1{,}2\cdot10^2\text{ с}\approx2\text{ мин}\) (оценка по порядку величины).

Что происходит. Молекулы воздуха летят хаотично, и те, что подлетают к отверстию, вылетают наружу. Давление при \(T=\text{const}\) пропорционально числу молекул в единице объёма, поэтому изменение давления на \(1\%\) означает, что из спутника вылетело \(1\%\) молекул. Главная идея: оценить поток молекул через отверстие по упрощённой модели кинетической теории.

Обозначения. \(n\) — число молекул в единице объёма, \(\overline v=\sqrt{3RT/\mu}\) — средняя квадратичная скорость, \(\mu=29\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}\) — молярная масса воздуха, \(T=273\text{ К}\) (нормальные условия). Модель: все молекулы имеют скорость \(\overline v\) и движутся только вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей, одна из которых перпендикулярна плоскости отверстия.

1. Доля молекул, летящих к отверстию. Вдоль каждой оси движется \(1/3\) молекул, и половина из них летит в каждую сторону. К отверстию направлена одна из шести групп: \(\dfrac16n\) молекул в единице объёма.

2. Число вылетевших молекул. За время \(\tau\) молекула, летящая к отверстию, пролетает путь \(\overline v\tau\). Значит, вылетают те молекулы из этой группы, что в начальный момент находились в цилиндре с основанием \(S\) и длиной \(\overline v\tau\), примыкающем к отверстию. Объём цилиндра \(S\overline v\tau\), поэтому \[\Delta N=\frac16\,n\,S\overline v\tau .\] Формула верна, пока число молекул у отверстия почти не меняется: давление упало всего на \(1\%\).

3. Давление. При \(T=\text{const}\) скорость \(\overline v\) не меняется, и давление пропорционально \(n\): \[\frac{\Delta p}{p}=\frac{\Delta N}{nV}=\frac{S\overline v\tau}{6V}\quad\Rightarrow\quad \tau=6\,\frac{\Delta p}{p}\,\frac{V}{S\overline v}.\]

4. Числа. Скорость \(\overline v=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}3\cdot273}{0{,}029}}\text{ м/с}\approx4{,}8\cdot10^2\text{ м/с}\). Тогда \[\tau=6\cdot0{,}01\cdot\frac{100}{10^{-4}\cdot4{,}8\cdot10^2}\text{ с}\approx1{,}2\cdot10^2\text{ с}\approx2\text{ мин}.\]

Обратите внимание: это оценка, а не точный расчёт. Модель с тремя осями и одной скоростью искажает коэффициент, но не порядок величины; кроме того, мы не учитываем столкновения молекул у отверстия.

Ответ. \(\tau=6\,\dfrac{\Delta p}{p}\,\dfrac{V}{S\overline v}\approx1{,}2\cdot10^2\text{ с}\approx2\text{ мин}\).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{м}^3}{\text{м}^2\cdot\text{м/с}}=\text{с}\). Второй способ — точная кинетическая теория: через отверстие в единицу времени вылетает \(\dfrac14\,n\langle v\rangle S\) молекул, где \(\langle v\rangle=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi\mu}}\approx4{,}5\cdot10^2\text{ м/с}\) — средняя скорость. Тогда \(\tau=4\cdot0{,}01\cdot\dfrac{V}{S\langle v\rangle}\approx90\text{ с}\): тот же порядок, наша модель завышает время на треть. Физический смысл: за минуты спутник теряет воздух через отверстие в один квадратный сантиметр.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.