Поле в смещённой плазме

Смещённые электроны оставляют с одной стороны сечения слой положительного заряда, а с другой — слой отрицательного. Разбейте слои на тонкие парные слои на равных расстояниях от сечения: каждая пара — плоский конденсатор.

\(E=\dfrac{enx}{\varepsilon_0}\), где \(e\) — модуль заряда электрона. Поле направлено вдоль смещения электронов (от положительного слоя к отрицательному).

Что происходит. Электроны слоя сместились на \(x\). С той стороны, откуда они ушли, остались ионы без электронов: слой толщиной \(x\) с объёмной плотностью заряда \(+en\). С другой стороны к своим электронам прибавились пришедшие: слой толщиной \(x\) с плотностью \(-en\). Вне этих слоёв плазма нейтральна. Сечение \(SS\) — граница между слоями. Главная идея: пары тонких слоёв, симметричных относительно \(SS\), — плоские конденсаторы, а поле между обкладками плоского конденсатора не зависит от расстояния между ними.

Обозначения. Ось \(\xi\) направлена по смещению электронов, \(\xi=0\) в сечении \(SS\). \(e\) — модуль заряда электрона, \(s\) — площадь рассматриваемого участка слоя (результат от \(s\) не зависит), \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. Слои считаем безграничными плоскими: их толщина много меньше размеров плазмы.

1. Заряды слоёв. Слой толщиной \(x\) на площади \(s\) содержит нескомпенсированный заряд \(enxs\): положительный при \(-x<\xi<0\), отрицательный при \(0<\xi<x\).

2. Одна пара слоёв. Выделим два тонких слоя толщиной \(\Delta\xi\), один на расстоянии \(\xi\) слева от \(SS\), другой на таком же расстоянии справа. Их заряды \(+Q\) и \(-Q\) одинаковы по модулю: \(Q=en\,\Delta\xi\,s\). Это обкладки плоского конденсатора, и \(SS\) лежит между ними. Поле между обкладками плоского конденсатора (закон для безграничных заряженных плоскостей) равно \(\dfrac{Q}{\varepsilon_0 s}\) и от расстояния между обкладками не зависит. Вклад пары в сечении \(SS\): \[\Delta E=\frac{Q}{\varepsilon_0 s}=\frac{en\,\Delta\xi}{\varepsilon_0},\] и направлен от положительной обкладки к отрицательной, то есть по оси \(\xi\).

3. Сложение. Весь слой толщиной \(x\) можно разбить на такие пары от \(\xi=0\) до \(\xi=x\). Принцип суперпозиции: поля пар складываются. Все вклады направлены одинаково: \[E=\sum\frac{en\,\Delta\xi}{\varepsilon_0}=\frac{en}{\varepsilon_0}\,x .\]

Обратите внимание: поле зависит от \(x\) линейно, но не от расстояния до слоя: именно поэтому его легко сложить по парам, не учитывая, на каком расстоянии от сечения лежит каждая пара.

Ответ. \(E=\dfrac{enx}{\varepsilon_0}\), направлено вдоль смещения электронов.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{Кл}\cdot\text{м}^{-3}\cdot\text{м}}{\text{Ф/м}}=\dfrac{\text{Кл}}{\text{Ф}\cdot\text{м}}=\dfrac{\text{В}}{\text{м}}\). Второй способ — теорема Гаусса для плоской симметрии: суммарный заряд слоёв равен нулю, поэтому вне слоёв поле равно нулю, а внутри \(E(\xi)=\dfrac{en}{\varepsilon_0}\,(\xi+x)\) при \(-x\le\xi\le0\) и убывает до нуля к \(\xi=x\) (рис. выше): в сечении \(SS\) максимум \(\dfrac{enx}{\varepsilon_0}\). Предел \(x\to0\): поле стремится к нулю — плазма нейтральна. Смысл: поле растёт пропорционально смещению электронов и стремится вернуть их назад.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.