Четыре пластины и два источника

Заряды пластин связаны условием, что суммарный заряд каждой пары подключённых к одному источнику пластин равен нулю. Выразите напряжённости между пластинами через заряды и напишите разности потенциалов для пар 1–3 и 2–4.

Пластины приобретут такие заряды, что разность потенциалов \(\varphi_1-\varphi_3\) равна \(-3U\), а \(\varphi_2-\varphi_4\) равна \(U\). Пусть заряды пластин 1 и 3 равны \(q_1\) и \(-q_1\), пластин 2 и 4 — \(q_2\) и \(-q_2\). Тогда проекции напряжённости поля между пластинами на ось, направленную вертикально вниз: \[E_{1\text{–}2} = \frac{q_1}{S\varepsilon_0}, \qquad E_{2\text{–}3} = \frac{q_1+q_2}{S\varepsilon_0}, \qquad E_{3\text{–}4} = \frac{q_2}{S\varepsilon_0},\] где \(S\) — площадь пластин, \(l\) — расстояние между соседними пластинами. Для разностей потенциалов: \[-3U = \frac{q_1 l}{S\varepsilon_0} + \frac{(q_1+q_2)l}{S\varepsilon_0}, \qquad U = \frac{(q_1+q_2)l}{S\varepsilon_0} + \frac{q_2 l}{S\varepsilon_0}.\] Решая систему, \[q_1 = -\frac{7US\varepsilon_0}{3l}, \qquad q_2 = \frac{5US\varepsilon_0}{3l}.\] Поэтому проекция напряжённости между пластинами 2 и 3 на ось, направленную вертикально вниз, равна \[E_{2\text{–}3} = \frac{q_1+q_2}{S\varepsilon_0} = -\frac{2U}{3l},\] то есть вектор напряжённости направлен вертикально вверх. Следовательно, \[\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_3 = -\frac{2U}{3}.\]