Согнутый стержень на оси

В равновесии центр тяжести стержня лежит на одной вертикали с осью. Сравните моменты сил тяжести сторон угла относительно оси.

В равновесии центр тяжести стержня лежит на одной вертикали с осью, поэтому искомый угол \(\alpha\) — угол между длинной стороной и направлением на центр тяжести. Простое решение: момент сил тяжести относительно оси равен нулю, если моменты сил тяжести обеих сторон угла равны. Длина и масса длинной стороны вдвое больше, чем у короткой; для длинной стороны (масса \(m\), длина \(l\)) \[mg\,\frac{l}{2}\sin\alpha = \frac{mg}{2}\cdot\frac{l}{4}\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{4},\] откуда \(\sin\alpha = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\).

Тот же результат получается через положение центра тяжести: разрезая стержень прямыми, параллельными \(AB\), находим, что центр тяжести делит сторону \(AB\) треугольника \(ABC\) на отрезки \(AO : OB = 1 : 2\). Тогда \[CO = \frac{\sqrt{17}}{3}a, \qquad \sin\alpha = \frac{AO}{OC}\sin\gamma = \frac{1}{\sqrt{17}},\] где \(CB = a\), \(AC = 2a\).