Подъём обелиска

Натяжение троса найдите из моментов сил относительно точки опоры, затем потребуйте, чтобы сила трения не превышала \(\mu N\).

\(\mu\ge\dfrac{(2+\cos\alpha)\cos\alpha}{(4+\cos\alpha)\sin\alpha}\) (наибольшее значение — в начале подъёма).

11.3 На рисунке изображены силы, действующие на обелиск во время подъема (все обозначения традиционные). Для того чтобы обелиск не соскользнул с фундамента, необходимо, чтобы сила трения покоя не превысила своего максимального значения \(\mu N\). Будем считать, что подъем осуществляется медленно, поэтому в любой момент времени сумма сил равна нулю. Это условие в проекции на горизонтальное и вертикальное направления имеет вид

\[\begin{array} { l } { F _ { m p . } = T \cos \beta } \\ { N = m g + T \sin \beta } \end{array}\tag{1}\]

Следовательно, условие возможности подъема записывается в виде неравенства

\[T \cos \beta \le \mu (mg + T \sin \beta).\tag{2}\]

Для определения силы натяжения троса запишем условие равновесия для моментов сил относительно точки опоры

\[Tl \sin \beta = mg \frac{h}{2} \cos \alpha,\tag{3}\]

здесь \(l \sin \beta\) плечо силы натяжения троса. Из этого уравнения найдем

\[T = \frac{mg \cos \alpha}{4 \sin \beta}\]

и подставим в неравенство (2), которое упрощается

\[\mu \ge \frac{\cos \alpha}{(4 + \cos \alpha) \operatorname{tg} \beta}.\tag{4}\]

Тангенс угла \(\beta\) выразим из треугольника \(ABE\)

\[\operatorname{tg} \beta = \frac{h \sin \alpha}{l + h \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{2 + \cos \alpha}.\tag{5}\]

Окончательно, получаем требуемое условие

\[\mu \ge \frac{(2 + \cos \alpha) \cos \alpha}{(4 + \cos \alpha) \sin \alpha}.\tag{6}\]

Можно показать (на рис. показан ее график), что стоящая справа функция является монотонно убывающей, поэтому, если скольжение не началось в начальный момент подъема (при минимальном значении угла \(\alpha\)), то оно не начнется и позже.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.