Адиабата с переменной теплоёмкостью

Запишите первое начало для малых изменений: \(C_V\,dT+\dfrac{RT}{V}\,dV=0\), и пошагово рассчитайте объём по температуре с учётом графика \(C_V(T)\).

Адиабата строится по таблице: от \(V_0=1{,}0\) л, \(P\approx66{,}5\cdot10^5\) Па при \(800\) К до \(V=13{,}0\) л, \(P\approx1{,}92\cdot10^5\) Па при \(300\) К.

11.5 Запишем уравнение первого начала термодинамики

\[Q = \Delta U + A.\tag{1}\]

Для адиабатного процесса \(Q = 0\), кроме того, для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объема газа, поэтому изменение внутренней энергии газа задается формулой \(\Delta U = C_V \Delta T\). Так как в нашем случае теплоемкость газа изменяется, необходимо рассматривать малые интервалы изменения температуры. Традиционное выражение для совершенной газом работы \(A = P \Delta V\) необходимо преобразовать с использованием уравнения состояния идеального газа \(PV = RT\). Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (1) принимает вид

\[C_V \Delta T + \frac{RT}{V} \Delta V = 0,\tag{2}\]

из которого выразим зависимость изменения объема от изменения температуры

\[\Delta V = -V \frac{C_V \Delta T}{RT} = -cV \frac{\Delta T}{T},\tag{3}\]

где обозначено \(c = \frac{C_V}{R}\) - величина, приведенная на графике. Уравнение (3) необходимо решать численно, разбивая заданный диапазон изменения температуры на небольшие интервалы \(\Delta T\). Для увеличения точности расчетов в качестве \(c\) и \(T\) следует брать средние значения этих величин на выбранном интервале. Если мы пронумеруем точки разбиения диапазона индексом \(k\), то схему расчетов можно представить в виде

\[\Delta V = -\frac{c_k + c_{k+1}}{2} V_k \frac{2 \Delta T}{T_k + T_{k+1}} = -V_k \frac{c_k + c_{k+1}}{T_k + T_{k+1}} \Delta T;\]

\[V_{k+1} = V_k + \Delta V; \quad P_k = \frac{RT_k}{V_k}\tag{4}\]

В таблице представлены результаты расчетов, проведенные при шаге \(\Delta T = -50 K\). Отрицательное значение этой величины обусловлено начальным условием - объем задан при максимальной температуре. При расчетах на калькуляторе удобнее сначала подсчитать значения всех объемов, а уже затем соответствующие значения давлений.

Ниже эти же данные представлены в виде графика. Сплошная линия - адиабата для постоянного значения теплоемкости \(C_V = 3R\). Практически полное совпадение свидетельствует, с одной стороны, о слабом влиянии изменения теплоемкости, а с другой, о достаточно высокой точности примененной процедуры расчета.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.