Адиабатический процесс

При адиабатическом процессе работа совершается за счёт убыли внутренней энергии одноатомного газа.

8 К

При адиабатном процессе работа совершается за счёт внутренней энергии газа.

\(8\) К

Следите за той порцией газа, которая осталась в баллоне: она расширилась адиабатически от меньшего объёма до объёма баллона. Конечное давление \(p_2\) связано с количеством газа в баллоне уравнением состояния.

\(\gamma \approx 1{,}4\).

Сколько молей составляют 4 г гелия? Система теплоизолирована, поэтому вся внутренняя энергия конечного состояния складывается из энергий обеих порций газа и работы сжатия.

\(T = \dfrac{1}{3}\left(2T_1 + T_2 + \dfrac{4A}{3\nu R}\right) = 420\) К.

С учетом молярной массы гелия количество добавленного газа равно \(\nu/2 = 1\) моль. Так как система теплоизолирована, по первому закону термодинамики \[\frac{3}{2}\nu R T_1 + \frac{3}{2}\frac{\nu}{2} R T_2 + A = \frac{3}{2}\frac{3}{2}\nu R T,\] откуда \(T = \dfrac{1}{3}\left(2T_1 + T_2 + \dfrac{4A}{3\nu R}\right) = 420\) К.

Пока воздух «проталкивается», теплообмена нет, и работа сил давления идёт на увеличение внутренней энергии всего воздуха в камере. В пункте b) работа на цикле складывается из адиабатического сжатия порции и её выталкивания при постоянном давлении; приравняйте её приращению внутренней энергии газа в камере.

a) \(T_{\max} = \left(1 + \dfrac25\cdot\dfrac{P-P_0}{P}\right)T_0 = 380\) К, \(P_{\max} = P\dfrac{T_{\max}}{T_0} = 3{,}80\cdot 10^5\) Па; b1) \(N = \dfrac{(P-P_0)V_0}{P_0V_C}\); b2) \(A_i = \dfrac72 P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C - \dfrac52 P_0V_C\); b3) \(\Delta P_i = \dfrac75\,P_i^{2/7}P_0^{5/7}\dfrac{V_C}{V_0}\); b4) \(P_k = P_0\left(1 + \dfrac{V_C}{V_0}k\right)^{7/5}\); b5) \(P_{\max} = P_0\left(\dfrac{P}{P_0}\right)^{7/5} \approx 4{,}7\cdot 10^5\) Па, \(T_{\max} = T_0\dfrac{P_{\max}}{P} \approx 466\) К.

a) Для того чтобы при температуре окружающей среды давление в камере оказалось равно \(P\), следует «протолкнуть» в камеру количество воздуха \[\Delta\nu = \frac{(P-P_0)V_0}{RT_0}.\] Этот воздух занимал в сосуде объём \[V' = \frac{\Delta\nu\,RT_0}{P_{\max}} = \frac{(P-P_0)V_0}{P_{\max}}.\] «Проталкивая» порцию воздуха в камеру, силы давления совершают работу \[A = P_{\max}V' = (P-P_0)V_0 .\] Можно считать, что давление в сосуде почти не меняется, ведь его объём очень большой. За счёт работы \(A\) увеличивается внутренняя энергия воздуха в камере и воздуха в проталкиваемой порции. Поскольку теплообмена нет, получаем соотношение \[(P-P_0)V_0 = \frac{5R(\nu + \Delta\nu)\,\Delta T}{2},\] где \(\nu\) — начальное количество воздуха в камере. Для конечного состояния воздуха в камере (после охлаждения до температуры \(T_0\)) справедливо уравнение состояния \[PV_0 = (\nu + \Delta\nu)RT_0 .\] Подставляя количество вещества из второго соотношения в первое, получаем уравнение \[\frac{P-P_0}{P} = \frac52\cdot\frac{\Delta T}{T_0},\] из которого следует ответ для температуры \[T_{\max} = \left(1 + \frac25\cdot\frac{P-P_0}{P}\right)T_0 = 380\text{ К}.\] Давление находится из закона Шарля \[P_{\max} = P\,\frac{T_{\max}}{T_0} = 3{,}80\cdot 10^5\text{ Па}.\]

b1) Количество циклов «проталкивания» \(N\) можно определить, зная начальное и конечное количество газа в камере. За один цикл в камеру проталкивается воздух из насоса в количестве \(\Delta\nu = \dfrac{P_0V_C}{RT_0}\), поэтому количество циклов равно \[N = \frac{(P-P_0)V_0}{RT_0\,\Delta\nu} = \frac{(P-P_0)V_0}{P_0V_C}.\]

b2) При адиабатическом сжатии от давления \(P_0\) до давления \(P_i\) поршнем совершается работа, равная изменению внутренней энергии сжимаемого в насосе воздуха \[A_{Q=0} = \frac52 P_0V_C\left(\frac{T'}{T_0} - 1\right),\] где \(T'\) — температура, которая достигается в конце сжатия. При помощи уравнения адиабаты \(TP^{-2/7} = \text{const}\) выражение для работы при адиабатическом сжатии может быть записано в виде \[A_{Q=0} = \frac52 P_0V_C\left(\left(\frac{P_i}{P_0}\right)^{2/7} - 1\right).\] Далее работа совершается при постоянном давлении. Она равна \[A_P = P_iV' = P_iV_C\left(\frac{P_0}{P_i}\right)^{5/7} = P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C .\] Суммируя эти работы, получаем для работы на \(i\)-м цикле формулу \[A_i = A_{Q=0} + A_P = \frac72 P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C - \frac52 P_0V_C .\]

b3) За счёт работы \(A_i\) изменяется внутренняя энергия того воздуха, который уже был в камере на момент начала \(i\)-го цикла, и той порции, которая «проталкивается» в камеру. Изменение внутренней энергии равно \[\Delta U_i = \frac52 P_iV_0 - \frac52\left(P_{i-1}V_0 + P_0V_C\right).\] Приравнивая изменение внутренней энергии и работу \(A_i\), с учётом равенства \(\Delta P_i = P_i - P_{i-1}\) имеем формулу \[\Delta P_i = \frac75\cdot P_i^{2/7}P_0^{5/7}\,\frac{V_C}{V_0}.\]

b4) Осуществляя интегрирование, как описано в формулировке задачи, получаем соотношение \[\frac75\left(P_k^{5/7} - P_0^{5/7}\right) = \frac75\,P_0^{5/7}\,\frac{V_C}{V_0}\cdot k .\] Сделав преобразования в полученной формуле, находим ответ \[P_k = P_0\left(1 + \frac{V_C}{V_0}\,k\right)^{7/5}.\]

b5) Подставляем в формулу для давления количество циклов \(k = N\) из пункта b1), находим максимальное давление \[P_{\max} = P_0\left(1 + \frac{P-P_0}{P_0}\right)^{7/5} = P_0\left(\frac{P}{P_0}\right)^{7/5} \approx 4{,}7\cdot 10^5\text{ Па}.\] Максимальную температуру можно найти из закона Шарля, как при ответе на вопрос пункта a), получится формула \[T_{\max} = T_0\,\frac{P_{\max}}{P} \approx 466\text{ К}.\]

До первой остановки газ сжимается адиабатически и обратимо (\(PV^{5/3} = \mathrm{const}\)), а механическая энергия поршня с гирей целиком уходит во внутреннюю энергию газа. В конце процесс необратим: адиабата уже не годится, но закон сохранения энергии вместе с условием равновесия поршня по-прежнему работает.

1) \(M = \left(3\left(2^{2/3} - 1\right) - 1\right)m \approx 76\) кг;  2) \(a_\text{max} = g\left(\dfrac{2^{5/3}m}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g = 8\text{ м/с}^2\);  3) \(v_\text{max} \approx \sqrt{0{,}14gh_0} \approx 1{,}2\) м/с;  4) \(h = \dfrac{5m + 2M}{5(M + m)}\,h_0 \approx 0{,}74\) м.

Так как поршень вначале находится в равновесии, то \(P_0S = mg\) или \(P_0V_0 = mgh_0\), где \(P_0\) и \(V_0\) — начальное давление и начальный объём газа соответственно, \(S\) — площадь внутреннего поперечного сечения сосуда.

При движении системы механическая энергия поршня с грузом передаётся только газу (поршень перемещается в сосуде практически без трения, снаружи вакуум), а газ не передаёт теплоту в окружающую среду (по условию). В этом случае первое начало термодинамики имеет вид: \[A_\text{внеш} = \Delta U,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа, \(A_\text{внеш}\) — работа внешних сил над газом, равная убыли полной механической энергии поршня с грузом: \(A_\text{внеш} = -\Delta E\). В результате получаем: \[\Delta U + \Delta E = 0.\]

Согласно условию, при движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Поэтому будем считать, что с газом происходит обратимый адиабатический процесс.

Для него справедливо уравнение Пуассона \(PV^\gamma = \mathrm{const}\), где \(\gamma = 5/3\) для одноатомного идеального газа, \(P\) и \(V\) — давление и объём газа в некоторый произвольный момент времени. В нашем случае \(PV^{5/3} = P_0V_0^{\,5/3}\) или \[P = P_0\left(V_0/V\right)^{5/3} = P_0\left(h_0/h\right)^{5/3},\] \[PV = P_0V_0\left(V_0/V\right)^{2/3} = P_0V_0\left(h_0/h\right)^{2/3},\] где \(h\) — расстояние от поршня до дна сосуда в произвольный момент времени.

Рассмотрим момент времени, когда поршень находился в самой нижней точке на расстоянии \(h_\text{min}\) от дна сосуда. В этот момент скорость поршня с грузом равна нулю, т. е. \(\Delta E = (M + m)g(h_\text{min} - h_0)\).

Изменение внутренней энергии газа: \[\Delta U = \frac32\left(P_1V_1 - P_0V_0\right) = \frac32 P_0V_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right) = \frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right),\] где \(P_1\) и \(V_1\) — давление и объём газа соответственно в рассматриваемый момент времени.

После объединения получаем: \[\frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right) + (M + m)gh_0\left(\frac{h_\text{min}}{h_0} - 1\right) = 0.\] Подставляем \(\dfrac{h_0}{h_\text{min}} = 2\) и находим: \[M/m = 3\left(2^{2/3} - 1\right) - 1 \approx 0{,}762.\] \[M \approx 0{,}762m \approx 76\text{ кг}.\]

Будем рассматривать поршень с грузом как единое тело. Максимальный модуль ускорения поршня с грузом достигается, когда их скорость равна нулю, при этом суммарная внешняя сила — максимальна. Этим условиям удовлетворяют два положения поршня: начальное положение (сила тяжести больше силы давления газа на поршень) и нижнее положение (сила давления газа на поршень больше силы тяжести).

В начальный момент модуль ускорения поршня с грузом равен: \[a_0 = \frac{(M + m)g - P_0S}{M + m} = \frac{(M + m)g - mg}{M + m} = \frac{M}{M + m}\,g \approx 0{,}43g.\] В нижнем положении модуль ускорения поршня с грузом равен: \[\begin{gather*} a = \frac{P_0S\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3} - (M + m)g}{M + m} = g\left(\frac{m\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3}}{M + m} - 1\right) =\\ = g\left(\frac{2^{5/3}m}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g. \end{gather*}\] Выбираем максимальное значение: \[a_\text{max} = g\left(\frac{m\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3}}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g = 8\text{ м/с}^2.\]

Максимальной скорости поршень достигает на первом участке движения (от верхней точки до нижней). При максимальной скорости движения ускорение равно нулю, т. е. сила тяжести \((M + m)g\) равна силе давления газа \(P_2S\): \[(M + m)g = P_2S = P_0S\left(h_0/h_2\right)^{5/3} = mg\left(h_0/h_2\right)^{5/3},\] где \(h_2\) — расстояние от поршня до дна сосуда в указанный момент времени. Из полученного уравнения найдём \(h_2/h_0 = (M/m + 1)^{-3/5} \approx 0{,}712\).

Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) для газа записывается так: \[\frac32\left(P_2V_2 - P_0V_0\right) + (M + m)g(h_2 - h_0) + \left(\frac{(M + m)v_\text{max}^2}{2} - 0\right) = 0\] или \[\frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_2}\right)^{2/3} - 1\right) + (M + m)gh_0\left(\frac{h_2}{h_0} - 1\right) + \frac{(M + m)v_\text{max}^2}{2} = 0,\] где \(P_2\) и \(V_2\) — давление и объём газа соответственно в момент прохождения поршнем положения равновесия. Откуда: \[\frac{v_\text{max}^2}{2gh_0} = \left(1 - \frac{h_2}{h_0}\right) + \frac{3m}{2(M + m)}\left(1 - \left(\frac{h_0}{h_2}\right)^{2/3}\right).\] Подставляем значение \(h_2/h_0\): \[\frac{v_\text{max}^2}{2gh_0} \approx 0{,}07,\] откуда получаем: \[v_\text{max} \approx \sqrt{0{,}14gh_0} \approx 1{,}2\text{ м/с}.\]

На длительном промежутке времени процессы, протекающие в газе, становятся необратимыми, т. е. механическая энергия необратимо переходит во внутреннюю энергию.

Уравнение адиабаты \(PV^\gamma = \mathrm{const}\), выведенное для обратимого процесса, в этом случае не применимо.

Запишем условие равновесия поршня с грузом: \(PS = (M + m)g\). Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) в этом случае имеет вид: \[\frac32\left(PSh - P_0V_0\right) + (M + m)g(h - h_0) = 0.\] Получаем: \[\frac32\left((M + m)gh - mgh_0\right) + (M + m)g\left(h - h_0\right) = 0.\] Находим новую высоту: \[h = \frac{5m + 2M}{5(M + m)}\,h_0 \approx 0{,}74h_0 = 0{,}74\text{ м}.\]

Давление слева и справа одинаково. Запишите уравнение состояния для левой части и адиабату для правой при малых изменениях, выразив через них \(\Delta p\) и \(\Delta V\).

\(k = \dfrac{\nu_1}{\nu_2} = \dfrac35\cdot\dfrac{\alpha}{1-\alpha} = \dfrac35 = 0{,}6\).

Для малых изменений запишите уравнение адиабаты в виде связи \(\Delta T/T\) и \(\Delta p/p\) и получите приближённо прямую в координатах \(p\), \(T\); затем найдите её пересечение с графиком давления насыщенных паров.

\(T_2 \approx 97{,}5\,^\circ\text{С}\); \(A \approx 2{,}32\) кДж.

Сравните плотность частицы, сместившейся вдоль сухой адиабаты, с плотностью окружающего воздуха на новой высоте: атмосфера устойчива, если частица оказывается тяжелее (при подъёме) окружающего воздуха.

А) \(\Delta T_a = -\dfrac{2\mu g}{7R}\,\Delta h \approx -10\,{}^\circ\text{С/км}\cdot\Delta h\);  Б) атмосфера устойчива на высотах от \(0\) до \(600\text{ м}\), от \(2000\text{ м}\) до \(2600\text{ м}\), от \(7200\text{ м}\) до \(8000\text{ м}\).

Теплота подводится и отводится только на изохорах; выразите её через изменения температуры и свяжите температуры в вершинах цикла отношением \(n\).

\(40\,\%\).

Цикл состоит из изобары 1–2, изохоры 2–3 и адиабаты 3–1; запишите уравнение адиабаты для точек 3 и 1 и найдите \(n\) и \(k\) из условия.

\(25\,\%\).

Тепло газ получает только на изобаре. Для одноатомного газа в изобарном процессе теплота, изменение внутренней энергии и работа относятся как \(5:3:2\).

\(\eta = 0{,}2\).

Работа газа за цикл: \(A = 3{,}4 - 1{,}7 = 1{,}7\) Дж. Газ получает тепло при изобарическом расширении. Из первого начала термодинамики следует, что в изобарических процессах с одноатомным идеальным газом величины \(Q\), \(\Delta U\) и \(A\) всегда относятся соответственно как \(5:3:2\). Значит, \[Q_+ = \frac{5}{2}A_{12} = 2{,}5 \cdot 3{,}4 = 8{,}5\text{ Дж}.\] К.п.д. цикла равен \[\eta = \frac{A}{Q_+} = \frac{3{,}4 - 1{,}7}{8{,}5} = 0{,}2.\]

На каких участках цикла газ получает тепло, а на каких отдаёт? При изотермическом расширении внутренняя энергия не меняется.

1) №4 (\(n = 5\));  2) №3 (\(k = 4\)).

Из-за сдвига кривой вдоль оси давления разность давлений на изохорах одинакова при любом объёме. Используйте это для изохор и для работы на участке 1–2.

\(Q_{41} = 1{,}5\,p_0V_0\);  \(Q_{23} = -1{,}5\,np_0V_0\);  \(Q_{12} = 2{,}5\,p_0(n-1)V_0\);  КПД \(\eta = 1 - \dfrac{1{,}5\,n}{2{,}5(n-1) + 1{,}5}\).

Изобразите цикл на \(pV\)-диаграмме: быстрые участки — адиабаты, медленные — изохоры. Работа за цикл равна площади получившейся узкой фигуры.

А) воздух, окружающий цилиндр, нагреется;  B) \(\dfrac{A}{Q} = (4{,}0 \pm 0{,}2)\cdot 10^{-3}\).

Проталкивая порцию \(d\nu\) в сосуд при постоянном давлении, насос совершает работу \(p\,dV = RT_0\,d\nu\). Запишите первое начало для всего газа, оказавшегося в сосуде, и уравнения состояния в начале и в конце.

1) \(\dfrac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = \dfrac27 + \dfrac{5p_1}{7p_0}\);  2) \(T_1 = \dfrac{T_0}{\dfrac{2p_0}{7p_1} + \dfrac57}\).

Пусть \(V\) — объём сосуда, \(\nu_0\) — начальное количество вещества в сосуде, а \(\Delta\nu\) — количество вещества, переместившееся в сосуд из атмосферы. Запишем уравнения состояния газа в сосуде до и после закачивания: \[p_0V = \nu_0RT_0, \qquad p_1V = (\nu_0 + \Delta\nu)RT_1.\] Пусть давление воздуха внутри насоса равняется \(p_\text{в}\), а \(dV_\text{в}\) — объём, занимаемый порцией воздуха в количестве вещества \(d\nu\) внутри насоса. При закачивании указанной порции воздуха в сосуд насос совершает механическую работу \(\delta A_\text{н}\), равную: \[\delta A_\text{н} = p_\text{в}\,dV_\text{в}.\] Но из уравнения Менделеева–Клапейрона \(p_\text{в}\,dV_\text{в} = RT_0\,d\nu\), поэтому: \[\delta A_\text{н} = RT_0\,d\nu.\] Таким образом, полная механическая работа насоса \(A_\text{н}\) составляет: \[A_\text{н} = \Delta\nu RT_0.\] Запишем первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначально находившегося в сосуде газа и закачанного в него насосом: \[A_\text{н} + U_0 + U_1 = U_\text{к}.\] Здесь \(U_0 = \nu_0C_VT_0\) — начальная внутренняя энергия воздуха, изначально находившегося в сосуде, \(U_1 = \Delta\nu C_VT_0\) — сумма внутренних энергий закачиваемого воздуха на этапе закачивания в сосуд, а \(U_\text{к} = (\nu_0 + \Delta\nu)C_VT_1\) — конечная внутренняя энергия рассматриваемой системы. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна \(C_V = 5R/2\). Отсюда: \[\Delta\nu RT_0 + \frac{5\nu_0RT_0}{2} + \frac{5\Delta\nu RT_0}{2} = \frac{5(\nu_0 + \Delta\nu)RT_1}{2}.\] Таким образом: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{5\nu_0 + 7\Delta\nu}{5(\nu_0 + \Delta\nu)} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{(\nu_0 + \Delta\nu)} \;\Rightarrow\; \frac{\Delta\nu}{\nu_0} = \frac57\left(\frac{p_1}{p_0} - 1\right).\] Для отношения количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала имеем: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = 1 + \frac{\Delta\nu}{\nu_0},\] откуда: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = \frac27 + \frac{5p_1}{7p_0}.\] Для отношения температур \(T_1/T_0\) имеем: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{\nu_\text{к}}.\] Таким образом: \[T_1 = \frac{T_0}{\dfrac{2p_0}{7p_1} + \dfrac57}.\]

В состоянии 1 пар насыщенный, а в состоянии 2 жидкости уже нет. Выразите обе работы через температуры и приравняйте.

Система получит в процессе 1–2 количество теплоты \(Q_{12} = \nu\left(r + \dfrac{16RT_3}{3}\right)\).

Пара в смеси очень мало по сравнению с аргоном, поэтому температуру после расширения даёт адиабата аргона. Давление пара найдите из уравнения Клапейрона–Менделеева для него при изменении объёма и температуры.

1) \(T_2 = 290\) К;  2) \(p_2 = 3{,}6\) кПа;  3) нет, неверно: в новом состоянии устойчивого равновесия температура под поршнем будет отличаться от \(T_2\) более, чем на 1 К.

Как изменится суммарная внутренняя энергия газа? Как давление одноатомного газа связано с энергией единицы объёма?

\(\Delta x = \dfrac{2}{5}\,\dfrac{Q}{pS}\).

Из основного уравнения МКТ давление есть \(p = \dfrac{2}{3}\,n\bar w = \dfrac{2}{3}\,u\), где \(n\) — концентрация газа, \(\bar w\) — средняя кинетическая энергия одной частицы, \(u\) — плотность внутренней энергии газа (энергия единицы объёма). Заметим, что внутренняя энергия всего газа в ходе процесса не меняется, следовательно, процесс изобарический (так как \(u = \text{const}\)). Количество теплоты, подведённое газу, который расположен в левой части цилиндра, равно: \[Q = \frac{c_p}{R}\,pS\Delta x \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{2}{5}\,\frac{Q}{pS},\] где \(\Delta x\) — искомое смещение поршня.

Теплоёмкость пара на кривой насыщения найдите из первого начала, подставив \(\mathrm{d}p/\mathrm{d}T\) из данного соотношения. При адиабатическом сжатии сравните, во сколько раз растёт давление сухого пара и давление насыщенного пара при том же нагреве; при расширении пар остаётся насыщенным и частично конденсируется — теплота конденсации идёт на нагрев.

1) \(C_\text{нас} = R(4 - \alpha) \approx -93{,}9\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\);  2) \(\Delta T_1 = \beta T_0/3 \approx 5{,}6\text{ К}\);  3) \(\Delta T_2 = -T_0\cdot\dfrac{\beta}{\alpha - 1 + (4 - \alpha)RT_0/(\mu L)} \approx -1{,}2\text{ К}\).

1. Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем: \[\delta Q = \mathrm{d}U + \delta A = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V = \mathrm{d}U + \mathrm{d}(pV) - V\,\mathrm{d}p.\] Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева–Клапейрона: \[U = \nu C_VT \qquad pV = \nu RT.\] Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе: \[\mathrm{d}(pV) = \nu R\,\mathrm{d}T.\] Тогда получим: \[\delta Q = \nu C_V\,\mathrm{d}T + \nu R\,\mathrm{d}T - V\,\mathrm{d}p = \nu C_p\,\mathrm{d}T - V\,\mathrm{d}p,\] где \(C_p = C_V + R = 4R\) — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении.

Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры \((p, T)\), имеем: \[C = \frac{\delta Q}{\mathrm{d}T} = \nu C_p - V\cdot\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \nu C_p - \frac{\nu RT}{p}\cdot\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \nu\left(C_p - R\cdot\frac{\varepsilon_p}{\varepsilon_T}\right).\] Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна: \[C_\text{нас} = C_p - \alpha R = R(4 - \alpha) = -93{,}9\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}.\]

2. При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса: 1) если относительное изменение давления водяного пара под поршнем меньше относительного изменения давления насыщенного пара при том же относительном изменении температуры, т. е. если \(\varepsilon_p < \varepsilon_{p(\text{н.п})} = \alpha\varepsilon_T\), — вещество в сосуде целиком остаётся в газообразном состоянии, а пар перестаёт быть насыщенным; 2) если описанное условие соотношения относительных изменений давлений при одинаковом относительном изменении температуры не выполняется — пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться.

Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии. Из уравнения Менделеева–Клапейрона получим: \[pV = \nu RT \;\Rightarrow\; p\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}p = \nu R\,\mathrm{d}T = \frac{pV\,\mathrm{d}T}{T} \;\Rightarrow\; \varepsilon_p + \varepsilon_V = \varepsilon_T.\] Запишем первое начало термодинамики: \[\mathrm{d}U = -\delta A \;\Rightarrow\; \nu C_V\,\mathrm{d}T = -p\,\mathrm{d}V = -\frac{\nu RT\,\mathrm{d}V}{V} \;\Rightarrow\; \varepsilon_T = -\frac{R\varepsilon_V}{C_V}.\] Обратим внимание, что \(\varepsilon_T > 0\), поскольку \(\varepsilon_V < 0\). Далее находим: \[\varepsilon_p = \varepsilon_T - \varepsilon_V = \varepsilon_T\left(1 + \frac{C_V}{R}\right) = \frac{C_p\varepsilon_T}{R} = 4\varepsilon_T < \alpha\varepsilon_T.\] Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным. Тогда полученное нами выражение для \(\varepsilon_T\) является применимым, и температура увеличивается на величину, равную: \[\Delta T = T_0\cdot\frac{\beta}{C_V/R} = \frac{\beta T_0}{3} \approx 5{,}6\text{ К}.\]

3. Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно.

Продифференцируем уравнение Менделеева–Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде: \[pV = \nu RT \;\Rightarrow\; \varepsilon_p + \varepsilon_V = \varepsilon_\nu + \varepsilon_T \;\Rightarrow\; \varepsilon_T(\alpha - 1) + \varepsilon_V = \varepsilon_\nu,\] поскольку в рассматриваемом процессе \(\varepsilon_p = \alpha\varepsilon_T\).

Из первого начала термодинамики: \[\delta Q_\text{нас} + L\,\mathrm{d}m = 0,\] где \(Q_\text{нас}\) — количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а \(\mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}\nu\) — изменение массы водяного пара.

Поскольку состояние неконденсирующегося водяного пара в координатах \((p, T)\) описывается кривой фазового равновесия, его теплоёмкость равна теплоёмкости \(C_\text{нас}\), полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты \(\delta Q_\text{нас}\) имеем: \[\delta Q_\text{нас} = C_\text{нас}\,\mathrm{d}T.\]

Примечание: Отметим, что формула \[\delta Q_\text{нас} = C_V\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V,\] где \(\mathrm{d}V\) — изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина \(\mathrm{d}V\) не равна изменению объёма, занимаемого неконденсирующимся водяным паром.

Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим: \[\nu C_\text{нас}\,\mathrm{d}T + \lambda\mu\,\mathrm{d}\nu = 0 \;\Rightarrow\; \varepsilon_\nu = -\frac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda}.\]

Отсюда: \[\varepsilon_T(\alpha - 1) + \varepsilon_V = -\frac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda}.\] Окончательно находим: \[\Delta T = -T_0\cdot\frac{\beta}{\alpha - 1 + \dfrac{(C_p - \alpha R)T_0}{\mu\lambda}} = -T_0\cdot\frac{\beta}{\alpha - 1 + \dfrac{(4 - \alpha)R}{\mu\lambda}} \approx -1{,}2\text{ К}.\]

При постоянной температуре давление не меняется, а часть пара конденсируется: тепло конденсации равно изменению внутренней энергии минус работа внешних сил. Для \(L\) используйте конечные разности в уравнении Клапейрона–Клаузиуса. При адиабатическом сжатии проверьте, остаётся ли пар насыщенным.

А. \(A_{\text{ext}}^{(T)} = 0{,}1\nu_0RT\), \(\Delta U^{(T)} = -0{,}1\nu_0(\mu L - RT)\); Б. \(L \approx 2{,}45\cdot 10^6\) Дж/кг; В. \(\Delta U^{(\text{нас})} \approx 50\) Дж, \(A_{\text{ext}}^{(\text{нас})} \approx 278\) Дж; Г. \(A_{\text{ext}}^{(Q)} = \Delta U^{(Q)} \approx 266\) Дж.

А. Поскольку процесс происходит при постоянной температуре, давление под поршнем в процессе сжатия не меняется. Десятая часть количества водяного пара превращается в жидкость. Работа внешних сил равна \[A_{\text{ext}}^{(T)} = 0{,}1P_{\text{нас}}V = 0{,}1\nu_0RT,\] где \(\nu_0 = 1\) моль — количество вещества в сосуде под поршнем.

Количество теплоты, выделяющееся при конденсации \(0{,}1\) моля пара, равно \[Q_{\text{cond}} = -0{,}1\nu_0\mu L .\] С другой стороны, то же самое количество теплоты равно \[Q_{\text{cond}} = \Delta U^{(T)} - A_{\text{ext}}^{(T)} .\] Из этих формул следует второй ответ \[\Delta U^{(T)} = -0{,}1\nu_0\mu L + A_{\text{ext}}^{(T)} = -0{,}1\nu_0(\mu L - RT).\]

Б. Удельная теплота парообразования может быть найдена при помощи уравнения Клапейрона–Клаузиуса. Заменив производную отношением конечных разностей, далее применяя уравнение Клапейрона для газовой фазы, имеем \[L = \frac{\Delta P}{\Delta T}\left(\frac{RT^2}{P\mu} - \frac{T}{\rho_{\text{ж}}}\right).\] Сделаем численную оценку слагаемых в скобках. Легко видеть, что второе слагаемое на 5 порядков меньше первого, так что им можно пренебречь. В итоге имеем соотношение \[L = \frac{\Delta P}{\Delta T}\cdot\frac{RT^2}{P\mu}.\] Вычисляя разность давлений для температур \(27\,^\circ\)C и \(28\,^\circ\)C, получаем ответ \[L \approx 2{,}45\cdot 10^6\text{ Дж/кг}.\]

В. Преобразуем первое начало термодинамики, используя соотношение \(\nu_0R\,dT = P\,dV + V\,dP\), следующее из уравнения Клапейрона, \[\delta Q = (c_V + R)\nu_0\,dT - V\,dP .\] Уравнение Клапейрона–Клаузиуса с учётом малости удельного объёма жидкости может быть преобразовано к виду \[\frac{dP}{dT} = \frac{mL}{TV}.\] Подставим \(dP\) из этого равенства в предыдущее соотношение. После преобразований получится формула для молярной теплоёмкости насыщенного пара \[c = \frac{\delta Q}{\nu_0\,dT} = (c_V + R) - \frac{L\mu}{T} = c_P - \frac{L\mu}{T}.\] При небольшом (по сравнению с температурой \(T\)) изменении температуры \(\Delta T\), как следует из этой формулы, количество подведённой теплоты приближённо равно \[Q = \nu_0\left(c_P - \frac{L\mu}{T}\right)\Delta T .\] Теперь следует выяснить, на сколько изменяется температура пара при уменьшении объёма одного моля пара на 10%. Это можно сделать, используя данные таблицы. Получится, что уменьшению объёма на 10% соответствует увеличение температуры на \(2\,^\circ\)C. Подставляя в формулу для \(Q\) значения \(\Delta T = 2\) K, \(T = 300\) К, \(c_P = 4R\) (водяной пар — многоатомный газ), \(L \approx 2{,}45\cdot 10^6\) Дж/кг (из предыдущего пункта), получаем для количества теплоты значение \[Q \approx -228\text{ Дж}.\] Изменение внутренней энергии равно \[\Delta U^{(\text{нас})} = \nu_0c_V\Delta T \approx 50\text{ Дж}.\] Комбинируя эти результаты, получаем из первого начала термодинамики ответ \[A_{\text{ext}}^{(\text{нас})} = \Delta U^{(\text{нас})} - Q \approx 278\text{ Дж}.\]

Г. Сначала сделаем оценку и поймём, остаётся пар насыщенным при адиабатическом уменьшении объёма или нет. Предположим, что пар становится ненасыщенным, тогда будем рассматривать его как идеальный газ. Показатель адиабаты для многоатомного газа равен \(\gamma = \dfrac43\), поэтому уравнение адиабаты для водяного пара может быть записано в виде \[P(T) = P(T_0)\,\frac{T^4}{T_0^4},\] где \(P_0 = 3{,}57\cdot 10^3\) Па, \(T_0 = 300\) К. Сделаем расчёт по этой формуле и определим давление при температуре \(28\,^\circ\)C. Получится значение \(P(301\text{ К}) \approx 3618\) Па. Это значение меньше значения давления насыщенного пара при температуре \(28\,^\circ\)C. Это означает, что с ростом температуры давление насыщенного пара растёт быстрее, чем растёт давление ненасыщенного пара в адиабатическом процессе. Таким образом, для ответа на вопросы этого пункта задачи следует определить изменение температуры ненасыщенного водяного пара как идеального газа при уменьшении объёма на 10%. Используем уравнение адиабаты в виде \(TV^{1/3} = \text{const}\). Значение температуры при уменьшении объёма на 10% равно \[T_1 = T_0\,(0{,}9)^{-1/3} \approx 310{,}7\text{ К}.\] Теперь, используя найденное значение \(T_1\), можно найти изменение внутренней энергии ненасыщенного пара \[\Delta U^{(Q)} = \nu_0\cdot 3R\,(T_1 - T_0) \approx 266\text{ Дж}.\] Работа внешних сил равна изменению внутренней энергии \[A_{\text{ext}}^{(Q)} = \Delta U^{(Q)} \approx 266\text{ Дж}.\]

Из уравнения Бернулли найдите, как температура зависит от числа Маха, а по адиабате — как давление пара зависит от температуры. Конденсация начинается там, где скорость максимальна, а температура минимальна.

\(\varphi_{\max} \approx 69\,\%\) (при \(T_{\min} \approx 287{,}8\text{ К}\)).

Равновесное давление газа задано весом поршня и атмосферой. Для малых отклонений линеаризуйте связь \(\Delta P\) и \(\Delta V\) (изотерма и адиабата), а для второго пункта запишите первое начало термодинамики через мощности и решайте для гармонических величин, например методом комплексных амплитуд.

Выразите КПД цикла через отношение отданного и полученного тепла, использовав \(C_V = 3R\) и то, что точки 1 и 4 лежат на одной изохоре, а 2 и 3 на одной изобаре. Затем учтите потери в трансмиссии и теплоту сгорания топлива.

КПД автомобиля \(\eta_a = \left(1 - \dfrac{3(p_4 - p_1)V_1}{4p_2(V_3 - V_2)}\right)(1 - \alpha) = 0{,}475 = 47{,}5\%\); средняя механическая мощность \(N = \dfrac{q\rho V(1-\alpha)}{t}\left(1 - \dfrac{3(p_4 - p_1)V_1}{4p_2(V_3 - V_2)}\right) \approx 56{,}8\) кВт \(\approx 78\) л.с.