Лестница у гладкой стены

Напиши условие равновесия лестницы: сумму моментов относительно нижней точки и сумму сил по вертикали. Сила трения у пола должна быть наибольшей, когда человек находится на самом верху.

\(\mu\ge\dfrac{M+m/2}{M+m}\operatorname{tg}\alpha\).

9-4. Пусть человек находится на расстоянии \(x\) от верхнего края лестницы. Тогда условия равновесия лестницы имеет вид

\[mg\frac{l}{2}\sin\alpha + Mgx\sin\alpha - Nl\sin\alpha + F_{\text{тр}}l\cos\alpha = 0.\tag{1}\]

\[Mg + mg - N = 0,\tag{2}\]

где (1) – суммарный момент сил, действующих на лестницу относительно точки \(A\), (2) – сумма проекций сил на вертикальную ось. Сила трения покоя не превышает силы трения скольжения, поэтому

\[F_{\text{тр}} < \mu N\tag{3}\]

Выражая из (1), (2) величины \(N\) и \(F_{\text{тр}}\), подставляя их в (3), получим необходимое условие равновесия:

\[\mu \ge \frac{M + \dfrac{m}{2} - M\dfrac{x}{2}}{M + m} \operatorname{tg}\alpha.\]

Как следует из этого неравенства сила трения достигает максимального значения, когда человек поднимается на вершину лестницы, т.е. при \(x = 0\). Поэтому окончательный ответ задачи

\[\mu \ge \frac{M + \frac{m}{2}}{M + m} \operatorname{tg} \alpha.\]

Отметим, что при \(M \gg m\) ответ упрощается и приобретает знакомый вид

\[\mu \ge \operatorname{tg} \alpha.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.