Сани и человек на льду

Верёвка, натянутая под углом к горизонту, уменьшает давление саней на лёд и увеличивает давление человека. Нужный угол соответствует случаю, когда и сани, и человек одновременно оказываются на пределе скольжения.

\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\mu_1M-\mu_2m}{\mu_1\mu_2(M+m)}\approx 0{,}21\), то есть угол к горизонту не менее \(\alpha\approx 12^\circ\).

9-1. Если попытаться тянуть сани горизонтально, то у нас ничего не получится: сила трения, удерживающая сани на льду (\(F_{1} = \mu_{1}Mg = 196\) Н) слишком велика для того, чтобы человек мог их сдвинуть (\(F_{2} = \mu_{2}Mg = 176\) Н) – он начнет проскальзывать раньше. Однако если тянуть нить не горизонтально, а под некоторым углом \(\alpha\) к горизонту, то выполнение условий задачи возможно, т.к. при этом уменьшается вес саней и увеличивается вес человека. Таким образом:

\[\left. \begin{aligned} \mu_{1}N_{1} &= \mu_{1}(Mg - T\sin\alpha) = T\cos\alpha \\ \mu_{2}N_{2} &= \mu_{2}(Mg - T\sin\alpha) = T\cos\alpha \end{aligned} \right\},\tag{1}\]

где \(\vert \vec{T}_{1}\vert = \vert \vec{T}_{2}\vert = T\) - сила натяжения веревки, \(\mu_{1}\) и \(\mu_{2}\), \(N_{1}\) и \(N_{2}\) – соответственно коэффициенты трения и силы реакции, относящиеся к саням и человеку.

Из (1) следует:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\frac{\mu_{1}M}{\mu_{2}m} - 1}{\mu_{1} + \mu_{1}\frac{M}{m}} = \frac{\mu_{1}M - \mu_{2}m}{\mu_{1}\mu_{2}(M + m)} = 0{,}21.\tag{2}\]

Таким образом, человек должен тянуть сани под углом большим чем \(\alpha = \operatorname{arctg}(0{,}21) = 12^{\circ}\) к горизонту.

Из (2) видно, что при \(\mu_{2}m > \mu_{1}M\) угол становится отрицательным (\(\operatorname{tg}\alpha < 0\)), в этом случае тянуть сани можно горизонтально. Заметим, что сдвинуть сани возможно при любом малом \(\mu_{2} \neq 0\), но для этого важно, чтобы руки были сильными настолько, чтобы обеспечить необходимое значение \(T\), которое мы, за отсутствием надобности не вычисляли. (Верхняя оценка для \(T = mg\), когда сани станут «невесомыми» для льда; в этом случае нить практически вертикальна.)

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.