Росатом, 2019/20, отборочный этап, 11 класс

Выразите расстояние \(l\) между городами через \(\Delta t\) и скорости, затем запишите то же самое для второй и третьей машин.

\(v_3 = \dfrac{v}{2}\).

Пусть расстояние между городами равно \(l\). Отставание второй машины от первой: \[\Delta t = \frac{l}{\frac{2}{3}v} - \frac{l}{v} = \frac{l}{2v}.\] Отставание третьей машины от второй: \[\Delta t = \frac{l}{v_3} - \frac{l}{\frac{2}{3}v}.\] Приравнивая правые части, получаем \[\frac{l}{2v} = \frac{l}{v_3} - \frac{3l}{2v} \quad\Rightarrow\quad v_3 = \frac{v}{2}.\]

После того как гелий распределится по всему сосуду, его парциальные давления по обе стороны перегородки выровняются. Что это значит для кислорода?

\(\Delta x = \dfrac{l}{6}\).

Из условия равновесия перегородки (равенство давлений справа и слева) находим, что в начальный момент она расположена на расстоянии \(\dfrac{2l}{3}\) и \(\dfrac{l}{3}\) от концов сосуда. После того как гелий равномерно распределится по сосуду, его парциальные давления справа и слева от перегородки будут равны независимо от её положения. Поэтому перегородка расположится так, что парциальные давления кислорода справа и слева будут одинаковы. Поскольку количества вещества кислорода справа и слева одинаковы, перегородка окажется посередине. Перемещение перегородки: \[\Delta x = \frac{2l}{3} - \frac{l}{2} = \frac{l}{6}.\]

Запишите условие сохранения тока в верхнем узле и правило обхода для контура с центральным резистором.

Через резистор \(r\) течёт ток \(I_1 = 5I\), через резистор \(2r\) — ток \(I_2 = 4I\).

Пусть через верхнее сопротивление \(r\) течёт ток \(I_1\), через верхнее \(2r\) — ток \(I_2\) (если направление выбрано неверно, соответствующий ток получится отрицательным). Из условия токов в верхнем узле: \[I_1 = I + I_2.\] Из условия равенства нулю суммы падений напряжения в контуре: \[3rI + rI_1 - 2rI_2 = 0.\] Решая систему, получаем \(I_1 = 5I\), \(I_2 = 4I\).

В равновесии центр тяжести стержня лежит на одной вертикали с осью. Сравните моменты сил тяжести сторон угла относительно оси.

\(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{4}\).

В равновесии центр тяжести стержня лежит на одной вертикали с осью, поэтому искомый угол \(\alpha\) — угол между длинной стороной и направлением на центр тяжести. Простое решение: момент сил тяжести относительно оси равен нулю, если моменты сил тяжести обеих сторон угла равны. Длина и масса длинной стороны вдвое больше, чем у короткой; для длинной стороны (масса \(m\), длина \(l\)) \[mg\,\frac{l}{2}\sin\alpha = \frac{mg}{2}\cdot\frac{l}{4}\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{4},\] откуда \(\sin\alpha = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\).

Тот же результат получается через положение центра тяжести: разрезая стержень прямыми, параллельными \(AB\), находим, что центр тяжести делит сторону \(AB\) треугольника \(ABC\) на отрезки \(AO : OB = 1 : 2\). Тогда \[CO = \frac{\sqrt{17}}{3}a, \qquad \sin\alpha = \frac{AO}{OC}\sin\gamma = \frac{1}{\sqrt{17}},\] где \(CB = a\), \(AC = 2a\).

Заряды пластин связаны условием, что суммарный заряд каждой пары подключённых к одному источнику пластин равен нулю. Выразите напряжённости между пластинами через заряды и напишите разности потенциалов для пар 1–3 и 2–4.

\(\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_3 = -\dfrac{2U}{3}\).

Пластины приобретут такие заряды, что разность потенциалов \(\varphi_1-\varphi_3\) равна \(-3U\), а \(\varphi_2-\varphi_4\) равна \(U\). Пусть заряды пластин 1 и 3 равны \(q_1\) и \(-q_1\), пластин 2 и 4 — \(q_2\) и \(-q_2\). Тогда проекции напряжённости поля между пластинами на ось, направленную вертикально вниз: \[E_{1\text{–}2} = \frac{q_1}{S\varepsilon_0}, \qquad E_{2\text{–}3} = \frac{q_1+q_2}{S\varepsilon_0}, \qquad E_{3\text{–}4} = \frac{q_2}{S\varepsilon_0},\] где \(S\) — площадь пластин, \(l\) — расстояние между соседними пластинами. Для разностей потенциалов: \[-3U = \frac{q_1 l}{S\varepsilon_0} + \frac{(q_1+q_2)l}{S\varepsilon_0}, \qquad U = \frac{(q_1+q_2)l}{S\varepsilon_0} + \frac{q_2 l}{S\varepsilon_0}.\] Решая систему, \[q_1 = -\frac{7US\varepsilon_0}{3l}, \qquad q_2 = \frac{5US\varepsilon_0}{3l}.\] Поэтому проекция напряжённости между пластинами 2 и 3 на ось, направленную вертикально вниз, равна \[E_{2\text{–}3} = \frac{q_1+q_2}{S\varepsilon_0} = -\frac{2U}{3l},\] то есть вектор напряжённости направлен вертикально вверх. Следовательно, \[\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_3 = -\frac{2U}{3}.\]