Толстая пластина и тонкая

Учтите закон сохранения заряда для толстой пластины и условие E = 0 внутри металла.

Пусть на верхней и нижней поверхностях металлической пластины индуцированы заряды \(Q_1\) и \(Q_2\) (см. рисунок). Из закона сохранения заряда имеем очевидное условие \[Q_1 + Q_2 = \frac{q}{2}\] (причём в эту формулу заряды входят «со своими знаками», не модули).

Далее. Величина напряжённости электрического поля равномерно заряженной пластины определяется соотношением \[E = \frac{Q}{2S\varepsilon_0} ,\] где \(Q\) — модуль заряда пластины, \(S\) — её площадь, \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. Вектор \(\vec E\) направлен от пластины, если \(Q > 0\), и к пластине, если \(Q < 0\). Поэтому проекция \(E_x\) вектора напряжённости электрического поля пластины на ось \(x\), перпендикулярную пластине, может быть записана как \[E_x = \pm\frac{Q}{2S\varepsilon_0} ,\] причём знак «+» берётся для проекции напряжённости поля с той стороны пластины, куда направлена ось \(x\), «\(-\)» — с противоположной, а заряд входит «со своим знаком» (не модуль). Условием равновесия зарядов в проводнике является равенство нулю напряжённости электрического поля внутри проводника. Поэтому в равновесии внутри металлической пластины \(E = 0\). Поскольку поле внутри пластины создаётся тремя заряженными плоскостями — пластинкой с зарядом \(q\), зарядами верхней и нижней поверхностями металлической пластины \(Q_1\) и \(Q_2\), из формулы для \(E_x\) имеем \[\frac{q}{2\varepsilon_0 S} - \frac{Q_1}{2\varepsilon_0 S} + \frac{Q_2}{2\varepsilon_0 S} = 0 .\] Решая систему двух уравнений относительно неизвестных \(Q_1\) и \(Q_2\), получим \[Q_1 = \frac{3q}{4} , \qquad Q_2 = -\frac{q}{4} .\]