Росатом, 2023/24, отборочный этап, 11 класс

Запишите условие плавания бруска с тремя гирями и с семью гирями и исключите массу бруска и массу гирь.

\(\dfrac{\rho}{\rho_0} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\).

Пусть масса бруска \(M\), объём бруска — \(V\), масса одной гирьки — \(m\). Тогда условие равновесия бруска с тремя гирьками и с семью гирьками даёт \[Mg + 3mg = \rho_0 g\,\frac{V}{2} , \qquad Mg + 7mg = \rho_0 g V ,\] где \(\rho_0\) — плотность воды. Умножая первое уравнение на 7, второе — на 3 и вычитая второе уравнение из первого, получим \[4M = \frac{1}{2}\,\rho_0 V .\] А поскольку \(M = \rho V\), где \(\rho\) — плотность пенопласта, отсюда получаем \[\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{1}{8} = 0{,}125 .\]

Деформируя соединительные провода, перерисуйте цепь так, чтобы все резисторы оказались между двумя общими точками.

\(R_{\text{об}} = \dfrac{R}{2} = 5\) Ом.

С помощью деформации соединительных проводов (что не меняет сопротивления исходной цепи) данную в условии электрическую цепь можно привести к такому виду, из которого очевидно, что резисторы соединены параллельно.

Поэтому общее сопротивление \(R_{\text{об}}\) этой цепи можно найти как \[\frac{1}{R_{\text{об}}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{3R} + \frac{1}{3R} + \frac{1}{3R} \quad\Rightarrow\quad R_{\text{об}} = \frac{R}{2} = 5~\text{Ом} .\]

КПД равен отношению работы газа за цикл к теплоте, полученной от нагревателя. Тепло газ получает только на изобаре.

\(\eta = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\).

Пусть работа газа в изобарическом процессе равна \(A_p\). Как известно, количество теплоты, полученное одноатомным идеальным газом в изобарическом расширении, составляет \(5/2\) работы газа в этом процессе. Поэтому количество теплоты \(Q_p\), полученное газом в изобарическом процессе, равно \[Q_p = \frac{5}{2}\,A_p .\] При этом в рассматриваемом цикле газ получал тепло только на этом участке (на двух остальных он тепло отдавал), поэтому количество теплоты \(Q\), полученное в течение цикла от нагревателя, равно \[Q = Q_p = \frac{5}{2}\,A_p .\] Так как в изохорическом процессе газ не совершал работы, работа \(A\) газа за цикл равна \[A = A_p - A_T ,\] где \(A_T\) — работа, совершённая над газом в изотермическом процессе, которая по условию составляет \(3/4\) от работы газа в изобарическом процессе: \[A_T = \frac{3}{4}\,A_p .\] В результате для работы газа за цикл имеем \[A = A_p - \frac{3}{4}A_p = \frac{1}{4}A_p .\] Согласно определению термодинамический КПД циклического процесса есть отношение работы газа за цикл к количеству теплоты, полученному газом от нагревателя в течение цикла. Поэтому для рассматриваемого процесса имеем \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{\frac{1}{4}A_p}{\frac{5}{2}A_p} = \frac{1}{10} .\]

Учтите закон сохранения заряда для толстой пластины и условие E = 0 внутри металла.

верхняя поверхность: \(Q_1 = \dfrac{3q}{4}\); нижняя поверхность: \(Q_2 = -\dfrac{q}{4}\).

Пусть на верхней и нижней поверхностях металлической пластины индуцированы заряды \(Q_1\) и \(Q_2\) (см. рисунок). Из закона сохранения заряда имеем очевидное условие \[Q_1 + Q_2 = \frac{q}{2}\] (причём в эту формулу заряды входят «со своими знаками», не модули).

Далее. Величина напряжённости электрического поля равномерно заряженной пластины определяется соотношением \[E = \frac{Q}{2S\varepsilon_0} ,\] где \(Q\) — модуль заряда пластины, \(S\) — её площадь, \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. Вектор \(\vec E\) направлен от пластины, если \(Q > 0\), и к пластине, если \(Q < 0\). Поэтому проекция \(E_x\) вектора напряжённости электрического поля пластины на ось \(x\), перпендикулярную пластине, может быть записана как \[E_x = \pm\frac{Q}{2S\varepsilon_0} ,\] причём знак «+» берётся для проекции напряжённости поля с той стороны пластины, куда направлена ось \(x\), «\(-\)» — с противоположной, а заряд входит «со своим знаком» (не модуль). Условием равновесия зарядов в проводнике является равенство нулю напряжённости электрического поля внутри проводника. Поэтому в равновесии внутри металлической пластины \(E = 0\). Поскольку поле внутри пластины создаётся тремя заряженными плоскостями — пластинкой с зарядом \(q\), зарядами верхней и нижней поверхностями металлической пластины \(Q_1\) и \(Q_2\), из формулы для \(E_x\) имеем \[\frac{q}{2\varepsilon_0 S} - \frac{Q_1}{2\varepsilon_0 S} + \frac{Q_2}{2\varepsilon_0 S} = 0 .\] Решая систему двух уравнений относительно неизвестных \(Q_1\) и \(Q_2\), получим \[Q_1 = \frac{3q}{4} , \qquad Q_2 = -\frac{q}{4} .\]

Стержень невесомый, поэтому силы натяжения на его концах направлены вдоль стержня. Ускорения концов стержня вдоль него одинаковы.

\(a_c = \dfrac{\sqrt{3}}{8}\,g\), направлено горизонтально в сторону лёгкого тела; \(T = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,mg\), стержень сжат.

На тела действуют силы тяжести, силы реакции стенок лунки и силы натяжения стержня. А так как стержень не имеет массы, то сумма сил и моментов сил, действующих на стержень со стороны тел, должны равняться нулю. Поэтому эти силы могут быть направлены только вдоль стержня. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке, причём величины сил \(\vec T\) и \(\vec T'\) равны.

Так как в первый момент после отпускания скорости тел равны нулю, то ускорения тел сонаправлены скоростям. Поэтому ускорения тел направлены параллельно поверхности лунки — вверх для тела массой \(m\) и вниз для тела массой \(3m\). Далее. Поскольку длина стержня равна радиусу лунки, то углы, отмеченные дугами на рисунке, равны \(60^\circ\). Поэтому проекция второго закона Ньютона на оси, направленные вдоль поверхности лунки (вверх для первого тела, вниз для второго), даёт \[m a_1 = T\cos 30^\circ - mg\cos 60^\circ , \qquad 3m a_2 = 3mg\cos 60^\circ - T\cos 30^\circ ,\] где \(a_1\) — ускорение тела массой \(m\), \(a_2\) — ускорение тела массой \(3m\). Поскольку стержень нерастяжим, то проекции скоростей (и ускорений) его концов на направление стержня одинаковы: \[a_1\cos 30^\circ = a_2\cos 30^\circ \quad\Rightarrow\quad a_1 = a_2 .\] В результате из второго закона Ньютона получаем \[a_1 = a_2 = \frac{1}{4}\,g , \qquad T = \frac{\sqrt{3}}{2}\,mg .\] Очевидно, ускорение \(\vec a_c\) центра стержня следующим образом связано с ускорениями его концов: \[\vec a_c = \frac{\vec a_1 + \vec a_2}{2} .\] А так как перпендикулярные проекции векторов ускорений имеют разные знаки, то вектор ускорения центра стержня направлен вдоль стержня в сторону лёгкого тела и имеет величину \[a_c = a_1\cos 30^\circ = a_2\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}\,g .\] В результате имеем окончательно \[a_c = \frac{\sqrt{3}}{8}\,g ,\] направлено горизонтально в сторону лёгкого тела; \(T = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,mg\), стержень сжат.