Стержень с двумя грузами в лунке

Стержень невесомый, поэтому силы натяжения на его концах направлены вдоль стержня. Ускорения концов стержня вдоль него одинаковы.

На тела действуют силы тяжести, силы реакции стенок лунки и силы натяжения стержня. А так как стержень не имеет массы, то сумма сил и моментов сил, действующих на стержень со стороны тел, должны равняться нулю. Поэтому эти силы могут быть направлены только вдоль стержня. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке, причём величины сил \(\vec T\) и \(\vec T'\) равны.

Так как в первый момент после отпускания скорости тел равны нулю, то ускорения тел сонаправлены скоростям. Поэтому ускорения тел направлены параллельно поверхности лунки — вверх для тела массой \(m\) и вниз для тела массой \(3m\). Далее. Поскольку длина стержня равна радиусу лунки, то углы, отмеченные дугами на рисунке, равны \(60^\circ\). Поэтому проекция второго закона Ньютона на оси, направленные вдоль поверхности лунки (вверх для первого тела, вниз для второго), даёт \[m a_1 = T\cos 30^\circ - mg\cos 60^\circ , \qquad 3m a_2 = 3mg\cos 60^\circ - T\cos 30^\circ ,\] где \(a_1\) — ускорение тела массой \(m\), \(a_2\) — ускорение тела массой \(3m\). Поскольку стержень нерастяжим, то проекции скоростей (и ускорений) его концов на направление стержня одинаковы: \[a_1\cos 30^\circ = a_2\cos 30^\circ \quad\Rightarrow\quad a_1 = a_2 .\] В результате из второго закона Ньютона получаем \[a_1 = a_2 = \frac{1}{4}\,g , \qquad T = \frac{\sqrt{3}}{2}\,mg .\] Очевидно, ускорение \(\vec a_c\) центра стержня следующим образом связано с ускорениями его концов: \[\vec a_c = \frac{\vec a_1 + \vec a_2}{2} .\] А так как перпендикулярные проекции векторов ускорений имеют разные знаки, то вектор ускорения центра стержня направлен вдоль стержня в сторону лёгкого тела и имеет величину \[a_c = a_1\cos 30^\circ = a_2\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}\,g .\] В результате имеем окончательно \[a_c = \frac{\sqrt{3}}{8}\,g ,\] направлено горизонтально в сторону лёгкого тела; \(T = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,mg\), стержень сжат.