Тело на подвижном клине

Какое ускорение должно быть у тела, чтобы его время соскальзывания совпало с временем свободного падения с той же высоты? Какая связь между перемещениями тела и клина при этом получается?

Найдем время соскальзывания с неподвижного клина. Ускорение тела на неподвижном клине \(a = g\sin\alpha\), длина пройденного пути \(l = h/\sin\alpha\), где \(h\) — начальная высота тела над землей. Поэтому время спуска с закрепленного клина \[t_1 = \frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}.\] По условию время соскальзывания с движущегося клина в два раза меньше, т.е. равно \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\] Это время свободного падения тела с высоты \(h\) без начальной скорости. Следовательно, тело должно падать вертикально вниз с ускорением \(g\). Найдем из этого условия ускорение клина.

Пусть тело сместилось вертикально вниз на \(\Delta x\). Тогда клин должен сместиться вправо на \(\Delta x_1\) такой, что \[\Delta x_1 = \Delta x\,\ctg\alpha.\] Эта связь перемещений справедлива в любой момент времени, поэтому такая же связь между скоростями и ускорениями тела и клина: \[a_{кл} = a_т\,\ctg\alpha = \sqrt{3}\,a_т.\] Поскольку тело движется с ускорением свободного падения, окончательно \[a_{кл} = \sqrt{3}\,g.\]