Нагрев воды в трёх сосудах

В равновесии мощность нагревателя равна тепловым потерям. Потери складываются из потерь через дно и свободную поверхность (они одинаковы у всех сосудов) и через боковые стенки (пропорциональны объему). Составьте уравнения для первых двух сосудов.

Теплоотдача от сосудов складывается из теплоотдачи через свободную поверхность, дно и боковые стенки. Поскольку площадь дна и свободной поверхности одинакова во всех трех сосудах, потери через них \[w_1 = x\,(t - t_0),\] где \(x\) — коэффициент пропорциональности, одинаковый во всех трех случаях. Теплоотдача через боковые стенки пропорциональна их площади, а она — высоте сосуда и, следовательно, его объему (площадь дна одинакова): \[w_2 = y\,V\,(t - t_0),\] где \(y\) — коэффициент пропорциональности, одинаковый во всех трех случаях.

Пусть мощность нагревателя равна \(P\). В первом случае вода не нагревалась выше \(t_1\), поэтому теплоотдача при этой температуре равна мощности нагревателя: \[P = x\,(t_1 - t_0) + yV\,(t_1 - t_0).\] Во втором случае аналогично \[P = x\,(t_2 - t_0) + 2yV\,(t_2 - t_0).\] Решая эту систему, получаем \[x = \frac{P\,(2t_2 - t_1 - t_0)}{(t_1 - t_0)(t_2 - t_0)}, \qquad y = \frac{P\,(t_1 - t_2)}{V\,(t_1 - t_0)(t_2 - t_0)}.\] Для третьего сосуда уравнение теплового баланса \[P = x\,(t_3 - t_0) + 4yV\,(t_3 - t_0).\] Подставляя \(x\) и \(y\) и решая относительно \(t_3\), получаем \[t_3 = t_0 + \frac{(t_1 - t_0)(t_2 - t_0)}{3t_1 - 2t_2 - t_0} = 44\,^\circ\text{C}.\]