Росатом, 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Сначала по показаниям левой схемы найдите сопротивления вольтметра и амперметра и напряжение внутреннего источника омметра, затем посчитайте правую схему.

Ответ

Показания вольтметра \(U_1 = 0\); амперметра \(I_1 = 2{,}0\text{ А}\); омметра \(R_1 = 0\).

Решение

С учетом указания к условию задачи эквивалентная схема цепи, показанной на левом рисунке в условии задачи, имеет вид, показанный на рисунке справа, где \(U_\Omega\) и \(r_\Omega\) — напряжение внутреннего источника омметра и его сопротивление. Найдем величину \(U_\Omega\), а также сопротивления амперметра и вольтметра.

Поскольку показания вольтметра составляют \(U_0 = 1{,}0\) В при силе тока через него \(I_0 = 1{,}0\) А, его сопротивление равно \(r_V = 1\) Ом. Показания омметра составляют величину \(R_0 = 1\) Ом, следовательно, при силе тока в цепи \(I_0 = 1\) А напряжение \(U\) на внешней по отношению к омметру цепи равно \(U = 1\) В и равно напряжению на вольтметре. Это значит, что напряжение на амперметре и его сопротивление \(r_A\) равны нулю: \(r_A = 0\) (в действительности сопротивление амперметра много меньше сопротивления вольтметра, и при той точности, с которой нам заданы показания приборов, оно не измеряется).

Напряжение внутреннего источника омметра определяется соотношением \[U_\Omega = I_0 r_\Omega + U_0 = 2{,}0~\text{В}.\] Поэтому при параллельном включении амперметра и вольтметра (правая схема в условии задачи) ток через вольтметр течь не будет, а ток через амперметр \(I_1\) будет определяться соотношением \[I_1 = \frac{U_\Omega}{r_\Omega} = \frac{I_0 r_\Omega + U_0}{r_\Omega} = 2{,}0~\text{А}.\] При этом вольтметр будет показывать напряжение на амперметре, которое равно нулю из-за его нулевого сопротивления: \(U_1 = 0\). По этой же причине и сопротивление, измеряемое омметром, будет нулевым: \(R_1 = 0\).

Подсказка

Траектория симметрична относительно верхней точки: момент подъема на максимальную высоту — середина между \(t_1\) и \(t_2\). Вертикальная проекция скорости в момент \(t_1\) дальше обнуляется за время \((t_2 - t_1)/2\).

Ответ

\(S = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,g\,(t_2^2 - t_1^2)\);  \(h = \dfrac{g\,(t_1 + t_2)^2}{8}\).

Решение

Поскольку траектория тела симметрична относительно верхней точки, время подъема на максимальную высоту \(t_{под}\) лежит ровно посередине между моментами \(t_1\) и \(t_2\): \[t_{под} = \frac{t_1 + t_2}{2}, \qquad t_{полн} = 2t_{под} = t_1 + t_2.\] Из закона изменения скорости для равноускоренного движения находим вертикальную проекцию начальной скорости: \[v_{0,y} = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}.\] От момента \(t_1\) до подъема на максимальную высоту (за время \((t_2 - t_1)/2\)) вертикальная проекция скорости уменьшается до нуля, поэтому в момент \(t_1\) \[v_{1,y} = \frac{g(t_2 - t_1)}{2}.\] Тогда горизонтальная проекция скорости в этот момент \[v_{1,x} = v_{1,y}\,\ctg\alpha = \frac{g(t_2 - t_1)}{2}\sqrt{3} = v_{0,x}.\] Горизонтальная составляющая скорости не меняется, поэтому дальность полета \[S = v_{0,x}\,t_{полн} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,g\,(t_2^2 - t_1^2).\] Максимальная высота подъема \[h = \frac{v_{0,y}^2}{2g} = \frac{g\,(t_1 + t_2)^2}{8}.\]

Подсказка

Какие удлинения у пружин, если натяжение нити одинаково во всех сечениях? Сколько суммарно растягиваются пружины, когда блок смещается на \(x\)?

Ответ

\(v_A = \dfrac{18}{11}\,v\);  \(F = \dfrac{24}{11}\,k v t\).

Решение

Пусть за малый интервал времени \(\Delta t\) блок переместился вниз на \(\Delta x = v\,\Delta t\). Тогда пружины за этот интервал в сумме растянутся на \(2\Delta x\). С другой стороны, сила натяжения нити в каждом ее сечении одинакова, поэтому пружины растягиваются одинаковой силой, и их удлинения обратно пропорциональны коэффициентам жесткости. Если пружина с коэффициентом \(k\) растянулась на \(\Delta x_1\), то пружина \(2k\) растянулась на \(\Delta x_1/2\), а пружина \(3k\) — на \(\Delta x_1/3\). Поэтому \[\Delta x_1 \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 2\Delta x, \qquad \Delta x_1 = \frac{12}{11}\,\Delta x = \frac{12}{11}\,v\,\Delta t.\] Перемещение точки А за рассматриваемый интервал равно суммарному удлинению пружин \(k\) и \(2k\): \[\Delta x_A = \Delta x_1 + \frac{\Delta x_1}{2} = \frac{18}{11}\,v\,\Delta t.\] Поэтому скорость точки А \[v_A = \frac{18}{11}\,v,\] она постоянна в процессе движения блока.

Блок движется равномерно, поэтому сила, которую нужно приложить к нему, равна удвоенной силе натяжения нити, а сила натяжения равна силе упругости пружин. За время \(t\) блок переместился на \(vt\), а пружина с коэффициентом \(k\) растянулась на \(\dfrac{12}{11}\,vt\). Сила упругости этой пружины \[F_{упр} = \frac{12}{11}\,k v t.\] Следовательно, сила, с которой нужно действовать на блок, \[F = 2F_{упр} = \frac{24}{11}\,k v t.\]

Подсказка

Какое ускорение должно быть у тела, чтобы его время соскальзывания совпало с временем свободного падения с той же высоты? Какая связь между перемещениями тела и клина при этом получается?

Ответ

\(a_{кл} = \sqrt{3}\,g\), клин движется вправо.

Решение

Найдем время соскальзывания с неподвижного клина. Ускорение тела на неподвижном клине \(a = g\sin\alpha\), длина пройденного пути \(l = h/\sin\alpha\), где \(h\) — начальная высота тела над землей. Поэтому время спуска с закрепленного клина \[t_1 = \frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}.\] По условию время соскальзывания с движущегося клина в два раза меньше, т.е. равно \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\] Это время свободного падения тела с высоты \(h\) без начальной скорости. Следовательно, тело должно падать вертикально вниз с ускорением \(g\). Найдем из этого условия ускорение клина.

Пусть тело сместилось вертикально вниз на \(\Delta x\). Тогда клин должен сместиться вправо на \(\Delta x_1\) такой, что \[\Delta x_1 = \Delta x\,\ctg\alpha.\] Эта связь перемещений справедлива в любой момент времени, поэтому такая же связь между скоростями и ускорениями тела и клина: \[a_{кл} = a_т\,\ctg\alpha = \sqrt{3}\,a_т.\] Поскольку тело движется с ускорением свободного падения, окончательно \[a_{кл} = \sqrt{3}\,g.\]

Подсказка

В равновесии мощность нагревателя равна тепловым потерям. Потери складываются из потерь через дно и свободную поверхность (они одинаковы у всех сосудов) и через боковые стенки (пропорциональны объему). Составьте уравнения для первых двух сосудов.

Ответ

\(t_3 = 44\,^\circ\)C.

Решение

Теплоотдача от сосудов складывается из теплоотдачи через свободную поверхность, дно и боковые стенки. Поскольку площадь дна и свободной поверхности одинакова во всех трех сосудах, потери через них \[w_1 = x\,(t - t_0),\] где \(x\) — коэффициент пропорциональности, одинаковый во всех трех случаях. Теплоотдача через боковые стенки пропорциональна их площади, а она — высоте сосуда и, следовательно, его объему (площадь дна одинакова): \[w_2 = y\,V\,(t - t_0),\] где \(y\) — коэффициент пропорциональности, одинаковый во всех трех случаях.

Пусть мощность нагревателя равна \(P\). В первом случае вода не нагревалась выше \(t_1\), поэтому теплоотдача при этой температуре равна мощности нагревателя: \[P = x\,(t_1 - t_0) + yV\,(t_1 - t_0).\] Во втором случае аналогично \[P = x\,(t_2 - t_0) + 2yV\,(t_2 - t_0).\] Решая эту систему, получаем \[x = \frac{P\,(2t_2 - t_1 - t_0)}{(t_1 - t_0)(t_2 - t_0)}, \qquad y = \frac{P\,(t_1 - t_2)}{V\,(t_1 - t_0)(t_2 - t_0)}.\] Для третьего сосуда уравнение теплового баланса \[P = x\,(t_3 - t_0) + 4yV\,(t_3 - t_0).\] Подставляя \(x\) и \(y\) и решая относительно \(t_3\), получаем \[t_3 = t_0 + \frac{(t_1 - t_0)(t_2 - t_0)}{3t_1 - 2t_2 - t_0} = 44\,^\circ\text{C}.\]