Батарея и плитка

Температура в комнате постоянна, значит, тепло, приходящее за секунду, равно теплу, уходящему за секунду. Что в этом балансе не изменилось при похолодании, а что изменилось?

\(Q=N\,\dfrac{t_0-t_1}{t_1-t_2}=19\text{ кДж}\) в секунду (мощность батареи \(19\text{ кВт}\)).

Что происходит. Комната теряет теплоту через стены и окна: чем больше разность температур в комнате и на улице, тем больше потери в секунду. Температура в комнате не меняется, поэтому энергия воздуха и стен постоянна, и теплота, приходящая в комнату за секунду, равна теплоте, уходящей из неё. Главная идея: записать баланс мощностей для двух состояний и исключить неизвестный коэффициент потерь.

Обозначения. \(Q\) — количество теплоты, которое батарея выделяет за секунду; \(t_{\text{нар}}\) — температура на улице; \(k\) — мощность потерь на один градус разности температур, то есть потери в секунду равны \(k(t_0-t_{\text{нар}})\). Величины \(Q\) и \(k\) неизвестны.

1. До похолодания. Закон сохранения энергии для комнаты за одну секунду: температура не меняется, поэтому приход теплоты равен потерям: \[Q=k(t_0-t_1).\]

2. После похолодания и включения плитки. Те же рассуждения: приходит теплота от батареи \(Q'\) и от плитки \(N\), уходит \(k(t_0-t_2)\): \[Q'+N=k(t_0-t_2).\] Обратите внимание: мощность батареи не изменилась, \(Q'=Q\). Батарея отдаёт комнате тем больше теплоты, чем сильнее температура воды в ней отличается от температуры воздуха в комнате. Температура воды задана, температура в комнате осталась прежней, а температура на улице на батарею не влияет. Именно ради этого в условии сказано, что температура в комнате не изменилась.

3. Исключаем \(k\). Вычтем уравнение пункта 1 из уравнения пункта 2 (при \(Q'=Q\)): \[N=k\bigl[(t_0-t_2)-(t_0-t_1)\bigr]=k\,(t_1-t_2),\qquad k=\frac{N}{t_1-t_2}=\frac{1000\text{ Вт}}{2\,{}^\circ\text{C}}=500\,\frac{\text{Вт}}{{}^\circ\text{C}}.\] На графике потери — прямая \(k(t_0-t_{\text{нар}})\), а батарея с плиткой и без неё — два горизонтальных уровня: плитка добавляет ровно ту мощность, на которую выросли потери при похолодании на \(2\,{}^\circ\text{C}\).

4. Мощность батареи. Подставим \(k\) в уравнение пункта 1: \[Q=k(t_0-t_1)=N\,\frac{t_0-t_1}{t_1-t_2}=1000\text{ Вт}\cdot\frac{38\,{}^\circ\text{C}}{2\,{}^\circ\text{C}}=19\,000\text{ Вт}.\]

Проверка. Размерность: Вт, то есть Дж/с. Предел: при \(t_0\to t_1\) получаем \(Q\to0\): если в комнате так же холодно, как на улице, потерь нет, и батарея не нужна. Числом: потери в первом режиме \(500\cdot38=19\,000\) Вт, во втором \(500\cdot40=20\,000\) Вт; во втором режиме приход \(19\,000+1000=20\,000\) Вт — баланс сходится.

Ответ: \(Q=N\dfrac{t_0-t_1}{t_1-t_2}=19\text{ кДж}\) за секунду (мощность \(19\text{ кВт}\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.