Шар-зонд

Вертикальная скорость шара постоянна, поэтому высота известна, как только известна эта скорость. Что происходит с углом \(\alpha\) в тот момент, когда он перестаёт расти, и что это говорит о горизонтальной скорости шара?

\(h=ut\approx1{,}9\text{ км}\) (при \(u\approx4{,}4\text{ м/с}\)); скорость ветра \(w=u/\operatorname{tg}\alpha_{\max}\approx2{,}4\text{ м/с}\).

Что происходит. Шар поднимается с постоянной скоростью, поэтому его высота пропорциональна времени, а горизонтально его сносит ветер: шар движется вместе с воздухом. Скорость ветра зависит от высоты, то есть от времени. Угол возвышения зависит от высоты и от расстояния до наблюдателя. Начало графика даёт вертикальную скорость, а максимум угла (на 7-й минуте) связывает с ней скорость ветра: в этой точке угол перестаёт расти.

Обозначения. \(u\) — вертикальная скорость шара, \(h=ut\) — его высота, \(x\) — смещение шара по ветру от места запуска (от наблюдателя), \(w=\dot x\) — горизонтальная скорость шара, равная скорости ветра на его высоте, \(L=1\text{ км}\). Горизонтальное расстояние от наблюдателя до шара равно \(L+x\).

1. Геометрия. Из прямоугольного треугольника «наблюдатель — точка под шаром — шар»: \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{L+x}=\frac{ut}{L+x}.\]

2. Вертикальная скорость. Рассмотрим начало подъёма. Ветер у поверхности равен нулю, а на малой высоте мал, поэтому \(x\ll L\), и при малых углах \(\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha\approx ut/L\). Значит, график в начале — почти прямая с наклоном \(\alpha'(0)=u/L\). Смещение \(x\) набирается постепенно, поэтому берём именно касательную в начале графика, а не хорду к дальней точке. По рисунку касательная идёт под наклоном \(\alpha'(0)\approx15^\circ/\text{мин}\approx0{,}26\text{ рад/мин}\), откуда \[u=L\,\alpha'(0)\approx1000\text{ м}\cdot0{,}26\,\text{мин}^{-1}\approx260\,\text{м/мин}\approx4{,}4\text{ м/с}.\]

3. Высота через 7 минут. Шар поднимается равномерно: \(h=ut=4{,}4\text{ м/с}\cdot420\text{ с}\approx1850\text{ м}\approx1{,}9\text{ км}\).

4. Скорость ветра. На графике на седьмой минуте \(\alpha\) достигает максимума, \(\alpha_{\max}\approx61^\circ\), и \(\alpha'=0\). Тогда и \((\operatorname{tg}\alpha)'=0\). Продифференцируем по времени формулу пункта 1, учитывая \(\dot h=u\), \(\dot x=w\): \[\frac{d}{dt}\,\frac{h}{L+x}=\frac{u\,(L+x)-h\,w}{(L+x)^2}=0\quad\Rightarrow\quad w=\frac{u\,(L+x)}{h}=\frac{u}{\operatorname{tg}\alpha_{\max}}.\] Обратите внимание: \(w\) — горизонтальная скорость шара, то есть скорость ветра, а не скорость вдоль луча зрения. Только в точке максимума угла она выражается через одну известную величину \(u\): в любой другой точке понадобилось бы знать смещение \(x\), то есть весь предыдущий подъём.

Подставим: \(\operatorname{tg}61^\circ\approx1{,}80\), поэтому \(w\approx4{,}4/1{,}80\approx2{,}4\text{ м/с}\).

Проверка. Размерность: \(u/\operatorname{tg}\alpha\) — м/с. Второй способ для \(u\): если бы ветра не было вовсе, \(\operatorname{tg}\alpha=ut/L\); на пятой минуте это даёт \(\operatorname{tg}\alpha=4{,}4\cdot300/1000=1{,}32\), то есть \(\alpha=53^\circ\), на седьмой — \(62^\circ\). На графике \(54^\circ\) и \(61^\circ\): до седьмой минуты шар сносит всего на несколько десятков метров, и определение \(u\) по началу графика оправдано. Смысл: у земли воздух почти спокоен, а ближе к 2 км скорость ветра заметно растёт.

Ответ: высота \(h=ut\approx1{,}9\text{ км}\); скорость ветра \(w=u/\operatorname{tg}\alpha_{\max}\approx2{,}4\text{ м/с}\). Точность определяется чтением графика, около \(5\)–\(10\,\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.