Валик на бруске

Груз опускается из-за двух движений сразу: брусок подъезжает к блоку, и нить сматывается с валика. Ускорение груза известно из \(s\) и \(t\), а ускорение бруска найдите из закона движения бруска вместе с валиком.

\(N=\dfrac{1}{2\pi R}\Bigl[s\Bigl(1+\dfrac1k\Bigr)-\dfrac{gt^2}{2k}\Bigr]\approx1\) оборот.

Что происходит. Нить тянет валик за нижнюю точку вправо, к блоку. Брусок вместе с валиком — одно тело, на которое по горизонтали действует только натяжение нити, поэтому оно едет к блоку. Валик при этом ещё и поворачивается на оси, сматывая нить. Длина нити постоянна, так что груз опускается за счёт двух вкладов: сближения бруска с блоком и разматывания нити с валика. Главная идея: ускорения груза и бруска известны из второго закона Ньютона, а угол поворота валика остаётся из связи длины нити.

Обозначения. Ось \(x\) направим к блоку. \(a\) — ускорение груза вниз, \(A\) — ускорение бруска с валиком к блоку, \(X\) — его смещение, \(T\) — натяжение нити, \(M=km\) — масса бруска с валиком (ось проходит через центр валика, поэтому центр масс этого тела движется как центр масс бруска), \(\varphi\) — угол поворота валика относительно бруска, \(\varepsilon\) — угловое ускорение.

1. Ускорение груза. Груз двигался из состояния покоя равноускоренно: \(s=at^2/2\), откуда \[a=\frac{2s}{t^2}=\frac{2\cdot0{,}63\text{ м}}{(3\text{ с})^2}=0{,}14\,\text{м/с}^2.\]

2. Натяжение нити. Второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикаль вниз: \(mg-T=ma\). Блок невесомый, трения нет, поэтому натяжение одинаково по всей нити: \[T=m(g-a).\]

3. Движение бруска с валиком. Второй закон Ньютона для центра масс бруска вместе с валиком в проекции на ось \(x\). Вертикальные силы (тяжесть и реакция стола) скомпенсированы, трения нет, а силы между бруском и валиком — внутренние. Единственная внешняя горизонтальная сила — натяжение нити, приложенное к валику: \[kmA=T\quad\Rightarrow\quad A=\frac{T}{km}=\frac{g-a}{k}=\frac{9{,}8-0{,}14}{92}\approx0{,}105\,\text{м/с}^2.\] Обратите внимание: \(A\neq a\). Нить сматывается с вращающегося валика, поэтому груз и брусок движутся с разными ускорениями. Момент инерции валика в задаче не нужен и не задан: вращение валика определяется кинематикой, а не динамикой.

4. Связь перемещений. Рассмотрим малый промежуток времени. Брусок смещается к блоку на \(dX\) — горизонтальный участок нити становится короче на \(dX\). Валик поворачивается на \(d\varphi\) и разматывает \(R\,d\varphi\) нити (стрелка на рисунке условия показывает вращение против часовой стрелки: нижняя точка валика движется к блоку, нить сматывается). Длина нити постоянна, поэтому груз опускается на \(ds=dX+R\,d\varphi\). Просуммируем от начала движения: \[s=X+R\varphi .\]

5. Угол поворота. Брусок движется равноускоренно из состояния покоя: \(X=At^2/2\). Из пункта 4 \[R\varphi=s-\frac{At^2}{2}=s-\frac{(g-a)\,t^2}{2k},\qquad X=\frac{0{,}105\cdot9}{2}\approx0{,}47\text{ м},\quad R\varphi\approx0{,}63-0{,}47=0{,}16\text{ м}.\]

Подставим \(a=2s/t^2\): \(R\varphi=s\Bigl(1+\dfrac1k\Bigr)-\dfrac{gt^2}{2k}\). Число оборотов \(N=\varphi/2\pi\): \[N=\frac{1}{2\pi R}\Bigl[s\Bigl(1+\frac1k\Bigr)-\frac{gt^2}{2k}\Bigr]=\frac{0{,}1575\text{ м}}{2\pi\cdot0{,}025\text{ м}}\approx1{,}0 .\]

Проверка. Размерность: в скобках длина, делим на длину — число оборотов. Предел: если брусок очень тяжёлый (\(k\to\infty\)), он не движется, \(X\to0\), и вся нить сматывается с валика: \(N=s/(2\pi R)\approx4{,}0\) оборота — верно, нить длиной \(63\) см при длине окружности \(15{,}7\) см. Смысл ответа: брусок в \(92\) раза тяжелее груза, но всё же уходит из-под нити на \(47\) см из \(63\), и на валик остаются лишь \(16\) см — около одного оборота.

Ответ: \(N=\dfrac{1}{2\pi R}\Bigl[s\Bigl(1+\dfrac1k\Bigr)-\dfrac{gt^2}{2k}\Bigr]\approx1\) оборот.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.