Чашка со ртутью

Силу давления ртути на купол найдите из равновесия самой ртути: на неё действуют дно, купол и вес. А что стоит на вершине купола, где давление ртути не может стать отрицательным?

1) \(h=R+\dfrac{\rho_1R}{3\rho}-\dfrac{m}{\pi\rho R^2}\) (при \(m<\dfrac{\pi\rho_1R^3}{3}\));  2) \(H=\Bigl(\dfrac{3m}{\pi\rho_1}\Bigr)^{1/3}\).

Что происходит. На чашку действуют три вертикальные силы: вес \(mg\), давление воды на верхнюю грань (вниз) и давление ртути на купол полости (вверх); ещё есть реакция дна. Ртуть тяжелее воды: она давит на купол сильнее, чем вода давит на чашку сверху, а по мере откачки давление воды падает, и чашка теряет опору на дно. Главная идея: силу давления ртути на купол найти из условия равновесия самой ртути, а отрыв считать моментом, когда реакция дна обращается в нуль.

Обозначения. Ось \(y\) направим вверх, дно — \(y=0\). \(F_{\text{в}}\) — сила давления воды на верхнюю грань, \(F_{\text{рт}}\) — сила давления ртути на купол вверх, \(N\) — реакция дна на край чашки, \(p_b\) — давление ртути на уровне дна, \(p_a\) — давление ртути на вершине купола (на высоте \(R\)), \(W=\tfrac23\pi R^3\rho_1g\) — вес ртути в полости.

Пункт 1. Отрыв чашки.

1. Вода сверху. Над водой вакуум (давлением паров пренебрегаем), поэтому давление воды на высоте \(y\) равно \(\rho g(h-y)\). Пока \(h>R\), на верхнюю грань (высота \(R\), площадь \(\pi R^2\)) действует \[F_{\text{в}}=\rho g\,(h-R)\,\pi R^2 .\] Боковые стенки дают только горизонтальные силы.

2. Давление в ртути. В ртути давление растёт вниз по закону гидростатики: \(p_b=p_a+\rho_1gR\). Пока воды много, давление в ртути определяет вода: у края чашки ртуть и вода соприкасаются, поэтому \(p_b=\rho gh\), и давление на вершине \(p_a=\rho gh-\rho_1gR\). Оно положительно при \(h>h_*=\rho_1R/\rho\) (около \(13{,}6\,R\)). В этом режиме равновесие чашки даёт \(N=mg+\tfrac23\pi\rho_1gR^3-\pi\rho gR^3>0\) (так как \(\rho_1>\tfrac32\rho\)), и от \(h\) реакция не зависит — чашка лежит.

3. Что меняется ниже \(h_*\). При \(h<h_*\) формула дала бы \(p_a<0\), а ртуть не может тянуть купол вниз: под вершиной образуется пузырёк вакуума, и \(p_a=0\). Тогда \[p_b=\rho_1gR\quad\text{и не зависит от }h .\] Обратите внимание: здесь система меняет поведение. Давление воды на чашку продолжает падать вместе с \(h\), а давление ртути больше не следует за водой и остаётся прежним — прижимающая сила слабеет, поднимающая нет.

4. Сила давления ртути на купол. Рассмотрим ртуть в полости как тело. Равновесие ртути в проекции на \(y\): снизу действует дно с силой \(p_b\pi R^2\) (ртуть касается дна по кругу радиуса \(R\)), сверху — купол с силой \(F_{\text{рт}}\) (по третьему закону Ньютона равной силе ртути на купол), вниз тянет вес \(W\): \[p_b\pi R^2=F_{\text{рт}}+W\quad\Rightarrow\quad F_{\text{рт}}=\pi R^2\cdot\rho_1gR-\tfrac23\pi R^3\rho_1g=\tfrac13\,\pi\rho_1gR^3 .\]

5. Условие отрыва. Чашка отрывается, когда её реакция дна обращается в нуль, \(N=0\). Условие равновесия чашки в проекции на \(y\): \(F_{\text{рт}}-mg-F_{\text{в}}=0\), \[\tfrac13\pi\rho_1gR^3=mg+\rho g\,(h-R)\,\pi R^2 \quad\Rightarrow\quad h=R+\frac{\rho_1R}{3\rho}-\frac{m}{\pi\rho R^2}.\] Формула верна при \(h\ge R\) (верхняя грань под водой), то есть при \(m\le\pi\rho_1R^3/3\). Если чашка тяжелее, поднимающей силы \(\tfrac13\pi\rho_1gR^3\) не хватает ни при каком уровне воды, и ртуть не вытекает.

График показывает, как ведёт себя реакция \(N(h)\) по формулам пунктов 2 и 3 (взято \(\rho_1/\rho=13{,}6\), \(m=\pi\rho R^3\)): сплошная часть — чашка прижата, ниже \(h_1\) формула давала бы \(N<0\), значит, чашка уже оторвалась.

Пункт 2. Высота ртути после откачки.

6. Чашка опустилась. Пока \(F_{\text{рт}}>mg+F_{\text{в}}\), чашка приподнята и ртуть вытекает из-под краёв, высота ртути в полости \(H\) уменьшается. Когда воду откачали, \(F_{\text{в}}=0\), и утечка прекращается, как только сила давления ртути сравнивается с весом чашки: \(F_{\text{рт}}=mg\).

7. Сила давления ртути при высоте \(H\). Поверхность ртути в полости — на высоте \(H\), над ней вакуум, \(p=0\). Давление у дна \(p_b=\rho_1gH\). Объём ртути — полушар без верхнего сегмента высоты \(R-H\); по формуле из условия \[V=\frac23\pi R^3-\pi(R-H)^2\Bigl(R-\frac{R-H}{3}\Bigr)=\pi\Bigl(R^2H-\frac{H^3}{3}\Bigr).\] Равновесие ртути в проекции на \(y\): \(F_{\text{рт}}+\rho_1gV=p_b\pi R^2\), откуда \[F_{\text{рт}}=\rho_1g\pi R^2H-\rho_1g\pi\Bigl(R^2H-\frac{H^3}{3}\Bigr)=\frac13\,\pi\rho_1gH^3 .\]

8. Высота. Приравняем \(F_{\text{рт}}=mg\): \[\frac13\,\pi\rho_1gH^3=mg\quad\Rightarrow\quad H=\Bigl(\frac{3m}{\pi\rho_1}\Bigr)^{1/3}.\]

Проверка. Размерность: \([\rho_1H^3]=\) кг. В пункте 1 все слагаемые — длины. Предел: при \(m=\pi\rho_1R^3/3\) получаем \(h=R\) (чашка едва удерживает полную полость и отрывается лишь тогда, когда вода опускается до верха чашки) и \(H=R\) — ртуть не вытекает; формулы пунктов 1 и 2 согласуются. При \(m\to0\) лёгкая чашка выпускает всю ртуть (\(H\to0\)) и отрывается уже при \(h=R(1+\rho_1/3\rho)\approx5{,}5R\).

Ответ: 1) \(h=R+\dfrac{\rho_1R}{3\rho}-\dfrac{m}{\pi\rho R^2}\) (при \(m<\pi\rho_1R^3/3\));  2) \(H=\Bigl(\dfrac{3m}{\pi\rho_1}\Bigr)^{1/3}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.