Тяжёлая жидкость в трубочке

Тяжёлая жидкость вытекает, пока давление на открытом конце трубочки изнутри больше, чем снаружи. Что произойдёт у конца трубочки, когда эти давления сравняются: тяжёлая жидкость стоит над лёгкой?

В первый раз вытечет \(m_1=S(\rho_2-\rho_1)(H+l)\). За каждый следующий цикл в маленький сосуд втекает \(m_{\text{л}}=S\,l\,(\rho_2-\rho_1)\) лёгкой жидкости и вытекает столько же тяжёлой: \(m_{\text{т}}=S\,l\,(\rho_2-\rho_1)\).

Что происходит. Все жидкости почти неподвижны, поэтому на каждом этапе работает гидростатика: давление в жидкости растёт с глубиной как \(\rho g\,\Delta h\). Тяжёлая жидкость вытекает, пока давление изнутри на выходе из трубочки больше внешнего. Когда давления сравнялись, у выхода тяжёлая жидкость стоит над лёгкой: такая граница неустойчива, и лёгкая жидкость поднимается по трубочке, а тяжёлая опускается. Лёгкая ложится слоем на тяжёлую, пока давление на дне сосуда не сравняется с давлением снаружи на той же глубине. Затем тяжёлая снова заполняет трубочку и снова вытекает — цикл повторяется. Главная идея: на каждом этапе приравнять давления и найти, как изменились высоты слоёв.

Обозначения. \(h\) — высота тяжёлой жидкости в маленьком сосуде над его дном, \(y\) — высота слоя лёгкой жидкости над ней (вначале \(h=H\), \(y=0\)). Дно сосуда лежит на глубине \(H\) под уровнем в большом сосуде, открытый конец трубочки — на глубине \(H+l\). Давления отсчитываем от атмосферного: поверхности жидкостей открыты.

Обратите внимание: объёмом трубочки пренебрегаем (её сечение мало), а верхний край маленького сосуда считаем выше уровня жидкости внутри. Если бы край был вровень с уровнем снаружи, лёгкая жидкость переливалась бы сверху и тяжёлая вытекла бы вся: процесс не повторялся бы.

Пункт 1. Первое вытекание.

1. Снаружи на глубине \(H+l\) давление \(p_{\text{нар}}=\rho_1g(H+l)\). Изнутри на том же уровне, у выхода из трубочки, давление столба тяжёлой жидкости высотой \(h+l\) равно \(p_{\text{вн}}=\rho_2g(h+l)\). В начале \(h=H\) и \(p_{\text{вн}}-p_{\text{нар}}=(\rho_2-\rho_1)g(H+l)>0\): тяжёлая жидкость вытекает.

2. Вытекание прекращается, когда давления равны: \(\rho_2(h_1+l)=\rho_1(H+l)\). Отсюда \[h_1=\frac{\rho_1}{\rho_2}(H+l)-l .\] Считаем \(h_1>0\), то есть \(\rho_1(H+l)>\rho_2l\).

3. Уровень в маленьком сосуде опустился на \(H-h_1\), значит, вытекла масса \[m_1=\rho_2S(H-h_1)=S\bigl[\rho_2H-\rho_1(H+l)+\rho_2l\bigr]=S(\rho_2-\rho_1)(H+l).\]

Пункт 2. Следующие циклы.

4. Условие равновесия после вытекания. К концу каждого вытекания трубочка заполнена тяжёлой жидкостью, а давления на выходе равны: \(\rho_2(h+l)+\rho_1y=\rho_1(H+l)\). При первом вытекании \(y=0\), и это уравнение пункта 2; запишем его с \(y\), чтобы оно годилось и для следующих циклов.

5. Втекание лёгкой жидкости. Лёгкая жидкость вытесняет тяжёлую из трубочки и ложится слоем \(y'\) на тяжёлую; всё замирает, когда трубочка заполнена лёгкой жидкостью, а давление на дне сосуда равно давлению снаружи на глубине \(H\) (там тоже лёгкая жидкость): \(\rho_2h+\rho_1y'=\rho_1H\). Вычтем из этого равенства уравнение пункта 4: \[\rho_1(y'-y)=\rho_1H-\rho_2h-\bigl[\rho_1(H+l)-\rho_2(h+l)\bigr]=(\rho_2-\rho_1)\,l .\] Слой лёгкой жидкости вырос на \(\Delta y=\dfrac{(\rho_2-\rho_1)\,l}{\rho_1}\), и от \(h\) и от номера цикла это не зависит. Втекла масса \(m_{\text{л}}=\rho_1S\,\Delta y=S\,l\,(\rho_2-\rho_1)\).

6. Вытекание тяжёлой жидкости. Теперь тяжёлая жидкость над лёгкой снова неустойчива: она заполняет трубочку, и давление изнутри на выходе становится больше внешнего (слой лёгкой жидкости добавил к нему \(\rho_1gy'\)). Тяжёлая жидкость вытекает, пока снова не выполнится равенство пункта 4 для новых высот \(h'\) и \(y'\): \(\rho_2(h'+l)+\rho_1y'=\rho_1(H+l)\). Вычтем из него то же равенство для \(h\) и \(y\): \[\rho_2(h-h')=\rho_1(y'-y).\] Вытекшая масса \(m_{\text{т}}=\rho_2S(h-h')=\rho_1S(y'-y)=S\,l\,(\rho_2-\rho_1)=m_{\text{л}}\).

Высота тяжёлой жидкости убывает на одну и ту же величину \(\dfrac{(\rho_2-\rho_1)\,l}{\rho_2}\) за цикл, слой лёгкой растёт на \(\Delta y\); значит, число циклов конечно: примерно \(\dfrac{h_1\rho_2}{(\rho_2-\rho_1)l}=\dfrac{\rho_1H-(\rho_2-\rho_1)l}{(\rho_2-\rho_1)l}\).

Проверка. Размерность: \([S\rho\,l]=\text{м}^2\cdot\text{кг/м}^3\cdot\text{м}=\text{кг}\). Предел \(\rho_2\to\rho_1\): все массы стремятся к нулю — при равных плотностях течь нечему. Предел \(l\to0\): цикла нет, а первое вытекание даёт \(\rho_2h_1=\rho_1H\) — условие плавания жидкого столба в открытом снизу сосуде (закон Архимеда), как и должно быть. Смысл: на каждом цикле вес вытекшей тяжёлой жидкости равен весу втекшей лёгкой, так как давление на дне должно вернуться к тому же значению.

Ответ. Первый раз вытечет \(m_1=S(\rho_2-\rho_1)(H+l)\) тяжёлой жидкости. За каждый следующий цикл втекает \(S\,l\,(\rho_2-\rho_1)\) лёгкой жидкости и вытекает столько же тяжёлой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.