Узел на шнуре

Узел лежит на прямой между спортсменами и делит её в неизменном отношении. Как тогда выражаются координаты, скорость и ускорение узла через координаты, скорости и ускорения концов шнура?

\(a=\dfrac{2\,\Delta y\,(1-\mu)^2v_0^2}{\mu\,\Delta x^2}\approx 0{,}59\text{ м/с}^2\), где \(\mu=\text{АВ}/\text{АБ}=1/4\), \(\Delta x=3{,}8\) м, \(\Delta y=1{,}9\) м (по рисунку).

Что происходит. Шнур прямой, и узел В лежит на нём: он делит отрезок АБ в одном и том же отношении в любой момент. Значит, положение узла — взвешенная сумма положений концов шнура. Спортсмен А идёт равномерно, спортсмен Б — равноускоренно, поэтому узел движется как тело, брошенное горизонтально: равномерно на восток и равноускоренно на юг. Главная идея задачи — свести её к известному броску, найдя скорость и ускорение узла.

Обозначения. Ось \(x\) направим на восток, ось \(y\) — на север, начало — в начальное положение Б. Размеры снимем с рисунка 4 по масштабу <<2 м>>: \(\text{АБ}=L=7{,}6\) м, \(\text{АВ}=1{,}9\) м, откуда \(\mu=\text{АВ}/\text{АБ}=1/4\). Точка Г лежит на \(\Delta x=3{,}8\) м восточнее шнура и на \(\Delta y=1{,}9\) м южнее начального положения узла (то есть на уровне середины АБ). Ускорение Б обозначим \(a\).

1. Движение концов шнура. Спортсмен А идёт равномерно на восток, а Б стартует из покоя и ускоряется на юг: \[x_{\text{А}}=v_0t,\quad y_{\text{А}}=L;\qquad x_{\text{Б}}=0,\quad y_{\text{Б}}=-\frac{at^2}{2}.\]

2. Положение узла. Узел делит отрезок АБ так, что \(\text{АВ}=\mu\cdot \text{АБ}\). Векторно \(\vec r_{\text{В}}=\vec r_{\text{А}}+\mu(\vec r_{\text{Б}}-\vec r_{\text{А}})=(1-\mu)\vec r_{\text{А}}+\mu\vec r_{\text{Б}}\). В проекциях \[x_{\text{В}}=(1-\mu)\,v_0t,\qquad y_{\text{В}}=(1-\mu)L-\frac{\mu a}{2}\,t^2 .\] Обратите внимание: здесь важно, что шнур остаётся прямым и растягивается равномерно (иначе при ходьбе А на восток, а Б на юг его длина не могла бы оставаться неизменной), поэтому доля \(\mu\) сохраняется.

3. Что это за движение. Из пункта 2: скорость узла вдоль \(x\) постоянна и равна \((1-\mu)v_0=0{,}75\) м/с, а по \(y\) он движется с постоянным ускорением \(\mu a\) вниз и без начальной скорости. Это горизонтальный бросок.

4. Условие прохождения через Г. Узел побывал в точке Г в момент \(t_{\Gamma}\): по горизонтали он прошёл \(\Delta x\), по вертикали опустился на \(\Delta y\). Запишем два уравнения: \[\Delta x=(1-\mu)v_0t_{\Gamma},\qquad \Delta y=\frac{\mu a}{2}\,t_{\Gamma}^2 .\] Из первого \(t_{\Gamma}=\dfrac{\Delta x}{(1-\mu)v_0}=\dfrac{3{,}8}{0{,}75}\approx5{,}07\) с. Неизвестным осталось только \(a\): из второго \[a=\frac{2\Delta y}{\mu\,t_{\Gamma}^2}=\frac{2\,\Delta y\,(1-\mu)^2v_0^2}{\mu\,\Delta x^2}=\frac{2\cdot1{,}9}{0{,}25\cdot25{,}7}\approx0{,}59\text{ м/с}^2 .\]

Проверка. Размерность: \([\Delta y\,v_0^2/\Delta x^2]=\text{м}\cdot\text{м}^2\text{с}^{-2}/\text{м}^2=\text{м/с}^2\). Второй способ: ускорение узла \(\mu a\approx0{,}148\) м/с\(^2\), за \(5{,}07\) с он опускается на \(\frac12\cdot0{,}148\cdot25{,}7\approx1{,}9\) м — ровно на \(\Delta y\). Предельный случай: при \(\mu\to1\) (узел у спортсмена Б) множитель \(1-\mu\to0\), узел не движется на восток и не может пройти через Г, что и должно быть. Смысл: чем ближе узел к Б, тем сильнее он чувствует его ускорение и тем слабее — скорость А.

Ответ. \(a=\dfrac{2\,\Delta y\,(1-\mu)^2v_0^2}{\mu\,\Delta x^2}\approx0{,}6\text{ м/с}^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.