Нагреватель и поршень

Поршень движется равномерно: что это говорит о давлении газа? А если давление постоянно, как связаны изменение внутренней энергии и работа газа за малое время?

\(P=\dfrac52\,(mg+F_{\text{тр}})\,v\approx74\text{ Вт}\) (при \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\); около \(75\) Вт при \(g=10\text{ м/с}^2\)).

Что происходит. Поршень поднимается с постоянной скоростью, значит, равнодействующая сил на него равна нулю, и давление газа постоянно: идёт изобарный процесс. Тепло от нагревателя уходит на два дела: нагрев гелия (рост внутренней энергии) и работу газа по подъёму поршня. Главная идея — записать первый закон термодинамики для малого промежутка времени.

Обозначения. \(S\) — площадь поршня, \(p\) — давление гелия, \(\nu\) — число молей, \(P\) — искомая мощность. Ось \(y\) направим вверх. Атмосферного давления нет, поэтому сверху на поршень газ не давит.

1. Давление газа. Поршень движется равномерно, значит, второй закон Ньютона для поршня в проекции на ось \(y\) даёт нуль в правой части: \(pS-mg-F_{\text{тр}}=0\). Сила трения направлена против скорости, то есть вниз. Отсюда \[pS=mg+F_{\text{тр}}\approx2\cdot9{,}8+10=29{,}6\text{ Н},\] давление не меняется в течение всего подъёма.

2. Первый закон за малое время. Рассмотрим малый промежуток времени \(dt\). Гелий получает от нагревателя теплоту \(dQ=P\,dt\). Поршень поднимается на \(v\,dt\), объём газа растёт на \(dV=Sv\,dt\), газ при постоянном давлении совершает работу \(dA=p\,dV\). Первый закон термодинамики для гелия: \[dQ=dU+p\,dV .\] Обратите внимание: теплоту трения считаем ушедшей в поршень и стенки, а не в газ. Если бы она вся шла в газ, нагревателю хватило бы мощности на \(F_{\text{тр}}v=10\) Вт меньше.

3. Внутренняя энергия гелия. Гелий одноатомный: \(dU=\tfrac32\nu R\,dT\). По уравнению Менделеева — Клапейрона при постоянном \(p\) имеем \(p\,dV=\nu R\,dT\), откуда \(dU=\tfrac32\,p\,dV\).

4. Мощность. Подставим в пункт 2: \(dQ=\tfrac52\,p\,dV=\tfrac52\,p\,Sv\,dt\). Делим на \(dt\) и используем результат пункта 1: \[P=\frac52\,pS\,v=\frac52\,(mg+F_{\text{тр}})\,v=\frac52\cdot29{,}6\cdot1\approx74\text{ Вт}.\]

Проверка. Размерность: \([\text{Н}\cdot\text{м/с}]=\text{Вт}\). Второй способ: теплоёмкость одноатомного газа при постоянном давлении \(C_p=\tfrac52\nu R\), значит, \(dQ=\tfrac52\nu R\,dT=\tfrac52\,p\,dV\), как и в пункте 4. Смысл: из 74 Вт на подъём и работу против трения уходит \(pSv=29{,}6\) Вт, а 44,4 Вт — на нагрев гелия; доля работы в изобарном процессе для одноатомного газа составляет \(2/5\).

Ответ. \(P=\dfrac52\,(mg+F_{\text{тр}})\,v\approx74\text{ Вт}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.