Ключ и амперметр

Идеальный амперметр соединяет две точки схемы в один узел. Магнитоэлектрический прибор из-за инерции стрелки показывает средний за период ток, а за период заряд, протекший через амперметр, можно найти из токов резисторов: заряд конденсатора за период не меняется.

Стрелка не дрожит, если период переключений много меньше времени отклика стрелки (долей секунды), то есть \(f\gg10\) Гц; при заданных \(\tau_1,\tau_2\) это \(f=1/(\tau_1+\tau_2)\approx48\) Гц. Амперметр показывает \(I=\dfrac{U_0(\tau_1+RC)}{2R(\tau_1+\tau_2)}\approx4{,}8\) мА (ток — от нижнего узла левого резистора к правому).

Что происходит. Сопротивление амперметра равно нулю, поэтому он соединяет точки \(M\) и \(N\) в один узел, и схема — два одинаковых блока <<резистор параллельно конденсатору>>, соединённых последовательно. Батарея идеальная: при замыкании ключа она мгновенно задаёт сумму напряжений на конденсаторах, а при размыкании конденсаторы разряжаются через резисторы с временем \(RC\). Магнитоэлектрический прибор инерционен: стрелка показывает средний за период ток. Главная идея — найти заряд, прошедший через амперметр за период.

Обозначения. \(u_1\) — напряжение на нижнем конденсаторе (между \(M\) и землёй), \(u_2\) — на верхнем (между \(T\) и \(N\)), \(u=u_1+u_2\) — напряжение между точкой \(T\) и землёй. \(I_{\text{А}}\) — ток амперметра в направлении от \(M\) к \(N\). Токи конденсаторов \(C\,du_1/dt\) и \(C\,du_2/dt\).

1. Токи резисторов. Потенциалы \(M\) и \(N\) равны, поэтому напряжение на верхнем резисторе (между \(T\) и \(M\)) равно \(u_2\), а на нижнем (между \(N\) и землёй) — \(u_1\). Токи этих резисторов: \(u_2/R\) и \(u_1/R\).

2. Ток амперметра. Запишем сохранение заряда в узле \(M\): ток \(u_2/R\) приходит сверху, уходят ток нижнего конденсатора и ток амперметра: \[I_{\text{А}}=\frac{u_2}{R}-C\frac{du_1}{dt}.\] Тот же закон для узла \(N\) (приходят ток верхнего конденсатора и ток амперметра, уходит ток нижнего резистора): \[I_{\text{А}}=\frac{u_1}{R}-C\frac{du_2}{dt}.\]

3. Напряжения поровну. Вычтем второе равенство из первого: \(0=\dfrac{u_2-u_1}{R}+C\,\dfrac{d(u_2-u_1)}{dt}\). Разность \(u_2-u_1\) затухает с временем \(RC\) при любом положении ключа, а вначале конденсаторы разряжены, так что она равна нулю всегда: \(u_1=u_2=u/2\). Тогда \[I_{\text{А}}=\frac{u}{2R}-\frac C2\frac{du}{dt}.\]

4. Среднее по периоду. Режим периодический: напряжение \(u\) к концу периода возвращается к начальному значению, поэтому среднее от \(du/dt\) равно нулю (в него входит и мгновенный скачок \(u\) при замыкании). Остаётся \[\bar I=\frac{\bar u}{2R}.\] Обратите внимание: при замыкании ключа заряды конденсаторов меняются скачком (у батареи и амперметра нет сопротивления), и \(du/dt\) содержит мгновенный всплеск; через амперметр при этом проходит короткий импульс тока обратного направления с зарядом \(-\tfrac C2U_0\). Нулю равно среднее от \(du/dt\) вместе с этим всплеском: если учесть только плавную часть, получится \(7{,}1\) мА, в полтора раза больше.

5. Среднее напряжение. При замкнутом ключе \(u=U_0\) в течение \(\tau_1\). При разомкнутом узел \(T\) отключён от батареи, ток в него не приходит: \(\dfrac{u_2}{R}+C\dfrac{du_2}{dt}=0\), откуда \(u=U_0e^{-t/RC}\), где \(t\) отсчитывается от размыкания. Время \(RC=1\) мс, пауза \(\tau_2=20\,RC\), поэтому к её концу \(u\approx U_0e^{-20}\approx0\): перед новым замыканием конденсаторы разряжены. Интеграл по периоду: \[\int u\,dt=U_0\tau_1+U_0RC\bigl(1-e^{-\tau_2/RC}\bigr)\approx U_0(\tau_1+RC).\] Для среднего: \(\bar u=\dfrac{U_0(\tau_1+RC)}{\tau_1+\tau_2}\).

6. Показание амперметра. Подставим в пункт 4: \[\bar I=\frac{U_0(\tau_1+RC)}{2R(\tau_1+\tau_2)}=\frac{10\cdot2\cdot10^{-3}}{2\cdot100\cdot21\cdot10^{-3}}\approx4{,}8\cdot10^{-3}\text{ А}.\] Ток амперметра направлен от \(M\) к \(N\) и при замкнутом ключе, и при разрядке; импульс при замыкании идёт в обратную сторону, но его заряд меньше.

7. Частота. Ток амперметра за период — импульс обратного знака при замыкании, 50 мА за \(\tau_1\) и затухающий всплеск до 100 мА после размыкания (рисунок выше). Стрелка успевает следить за таким током, только если период много больше времени её собственных колебаний. Типичное время отклика стрелки — десятые доли секунды, поэтому дрожания нет, если период \(T=\tau_1+\tau_2\) много меньше этого времени, то есть \(f=1/T\gg10\) Гц. При заданных \(\tau_1,\tau_2\) частота переключений \(f=1/(21\cdot10^{-3}\text{ с})\approx48\) Гц — этого достаточно. Условие не даёт времени отклика стрелки, поэтому ответ на этот вопрос — по порядку величины.

Проверка. Размерность: \([U\cdot\text{с}/(\text{Ом}\cdot\text{с})]=\text{А}\). Заряд за период: \(50\) мкКл (замкнут) \(+\,100\) мкКл (разрядка) \(-\,50\) мкКл (импульс) \(=100\) мкКл; делим на \(T=21\) мс: \(4{,}76\) мА, что совпадает с формулой пункта 6. Независимая проверка: численный расчёт схемы с малыми сопротивлениями батареи и амперметра (0,3 Ом) даёт \(4{,}75\) мА. Смысл: батарея заряжает конденсаторы до \(U_0/2\) каждый и за короткое время передаёт заряд в схему, а средний ток мал, потому что ключ в основном разомкнут.

Ответ. Стрелка не дрожит при \(f\gg10\) Гц (при заданных \(\tau_1,\tau_2\) — \(f\approx48\) Гц); амперметр показывает \(\bar I=\dfrac{U_0(\tau_1+RC)}{2R(\tau_1+\tau_2)}\approx4{,}8\) мА.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.