Конденсатор как челнок

Сколько заряда за один цикл конденсатор берёт у источника и отдаёт аккумулятору? Во втором вопросе примечание уже не выполняется: за время \(\tau/1000\) конденсатор не успевает ни зарядиться, ни разрядиться, и его напряжение почти постоянно.

1) \(T=\dfrac{2\tau I_0 t_1}{C(U_0-\mathcal{E})}=80\) ч;  2) \(T'=\dfrac{2I_0t_1(r_1+r_2)}{U_0-\mathcal{E}}=24\) ч, то есть быстрее в \(\dfrac{\tau}{(r_1+r_2)C}\approx3{,}3\) раза.

Что происходит. Конденсатор работает челноком: на стадии 1 он присоединён к источнику и заряжается, на стадии 2 — к цепочке «аккумулятор и резистор» и отдаёт часть заряда аккумулятору. Аккумулятор заряжен полностью, когда ему передан заряд \(Q=I_0t_1\). Главная идея первого вопроса — найти заряд, который челнок переносит за один цикл. Во втором вопросе стадии короче времён \(r_1C\) и \(r_2C\), режим другой, и тогда главными становятся сопротивления \(r_1\) и \(r_2\).

Обозначения. \(U_C\) — напряжение на конденсаторе; \(\Delta q\) — заряд, передаваемый аккумулятору за один цикл; цикл состоит из двух стадий по \(\tau\) (рисунок: положение 1 — к источнику, положение 2 — к аккумулятору). Считаем, что запас заряда аккумулятора \(Q\) не зависит от тока зарядки.

Часть 1. \(\tau=0{,}1\) с.

1. Заряд аккумулятора. При токе \(I_0\) он заряжается за \(t_1\), значит \[Q=I_0t_1=1\text{ А}\cdot21\,600\text{ с}=2{,}16\cdot10^{4}\text{ Кл}.\]

2. Стадия 1. Конденсатор присоединён к источнику. Постоянная времени цепи \(r_1C=0{,}01\) с много меньше \(\tau\), и по примечанию он успевает зарядиться полностью: \(U_C=U_0\).

3. Стадия 2. Конденсатор присоединён к аккумулятору с резистором. Закон Ома для этой цепи: \(U_C=\mathcal{E}+Ir_2\), ток \(I\) идёт, пока \(U_C>\mathcal{E}\), и прекращается при \(U_C=\mathcal{E}\). Постоянная времени \(r_2C=0{,}02\) с много меньше \(\tau\), поэтому конденсатор успевает разрядиться до \(U_C=\mathcal{E}\). Весь заряд, ушедший с его обкладки, прошёл через аккумулятор (закон сохранения заряда): \[\Delta q=C\,(U_0-\mathcal{E})=10^{-3}\text{ Ф}\cdot15\text{ В}=1{,}5\cdot10^{-2}\text{ Кл}.\] Обратите внимание: сопротивления \(r_1\) и \(r_2\) в \(\Delta q\) не входят. Они определяют только, как быстро идут стадии, а не сколько заряда переносится, пока стадии успевают завершиться. Напряжение на конденсаторе на рисунке ниже построено по этим постоянным времени.

4. Время зарядки. Число циклов \(N=Q/\Delta q\), каждый цикл длится \(2\tau\): \[T=2\tau N=\frac{2\tau\,I_0t_1}{C\,(U_0-\mathcal{E})}=\frac{0{,}2\text{ с}\cdot2{,}16\cdot10^{4}\text{ Кл}}{1{,}5\cdot10^{-2}\text{ Кл}}=2{,}9\cdot10^{5}\text{ с}\approx80\text{ ч}.\]

Часть 2. \(\tau'=\tau/1000=10^{-4}\) с.

5. Что изменилось. Теперь \(\tau'\) много меньше и \(r_1C=10^{-2}\) с, и \(r_2C=2\cdot10^{-2}\) с: за стадию конденсатор успевает изменить напряжение только на малую долю. Обратите внимание: примечание больше не выполняется, поэтому формулой \(\Delta q=C(U_0-\mathcal{E})\) пользоваться нельзя, а ответ «в 1000 раз быстрее» неверен — время не просто пропорционально \(\tau\).

6. Установившийся режим. После нескольких первых циклов (его длительность порядка \((r_1+r_2)C\approx0{,}03\) с, это ничтожно мало по сравнению с часами зарядки) конденсатор за цикл не накапливает заряд: заряд, пришедший от источника на стадии 1, равен заряду, ушедшему в аккумулятор на стадии 2. Напряжение \(U_C\) почти не меняется за цикл, поэтому токи стадий почти постоянны, и условие \(I_1\tau'=I_2\tau'\) даёт \(I_1=I_2=I\). Закон Ома для стадии 1: \(U_0=Ir_1+U_C\). Для стадии 2: \(U_C=\mathcal{E}+Ir_2\). Отсюда \[\frac{U_0-U_C}{r_1}=\frac{U_C-\mathcal{E}}{r_2},\qquad U_C=\frac{U_0r_2+\mathcal{E}r_1}{r_1+r_2}=22\text{ В},\qquad I=\frac{U_0-\mathcal{E}}{r_1+r_2}=\frac{15}{30}\text{ А}=0{,}5\text{ А}.\] Изменение \(U_C\) за стадию \(\Delta U_C\approx I\tau'/C=0{,}05\) В на фоне \(5\)–\(10\) В, то есть почти постоянство \(U_C\) законно.

7. Среднее значение тока заряда. Ток \(I\) течёт через аккумулятор только на стадии 2, то есть половину цикла (рисунок ниже, внизу; вверху для сравнения — режим первой части, где импульс тока короткий и острый). Среднее значение тока заряда \[\langle I\rangle=\frac I2=0{,}25\text{ А},\qquad T'=\frac{Q}{\langle I\rangle}=\frac{2{,}16\cdot10^{4}\text{ Кл}}{0{,}25\text{ А}}=8{,}6\cdot10^{4}\text{ с}=24\text{ ч}.\] В буквах \(T'=\dfrac{2I_0t_1(r_1+r_2)}{U_0-\mathcal{E}}\): от \(\tau'\) и \(C\) время зарядки больше не зависит.

8. Сравнение. \[\frac{T}{T'}=\frac{\tau}{(r_1+r_2)\,C}=\frac{0{,}1\text{ с}}{30\text{ Ом}\cdot10^{-3}\text{ Ф}}=\frac{0{,}1}{0{,}03}\approx3{,}3 .\]

Проверка. Размерность: \(\tau/(RC)\) безразмерно. Второй способ для части 2: конденсатор на быстрой стадии работает как переключаемый провод, поэтому ток равен току в цепи из последовательно соединённых источника, \(r_1\), \(r_2\) и аккумулятора, \((U_0-\mathcal{E})/(r_1+r_2)=0{,}5\) А, и течёт он половину времени. Прямой численный расчёт переходных процессов за цикл по точным экспонентам даёт \(80{,}5\) ч для \(\tau=0{,}1\) с и \(24{,}0\) ч для \(\tau'=10^{-4}\) с.

Ответ: \(T=\dfrac{2\tau I_0t_1}{C(U_0-\mathcal{E})}\approx80\) ч; при уменьшении \(\tau\) в 1000 раз время зарядки \(T'=\dfrac{2I_0t_1(r_1+r_2)}{U_0-\mathcal{E}}\approx24\) ч, то есть аккумулятор заряжается быстрее в \(\dfrac{\tau}{(r_1+r_2)C}\approx3{,}3\) раза.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.