Мяч и сопротивление воздуха

Запишите второй закон Ньютона для малого промежутка времени \(dt\) и умножьте его на \(dt\). Что получится из слагаемого с сопротивлением, если сложить такие равенства за весь полёт?

\(T=\dfrac{v_1+v_2}{g}\).

Что происходит. Сила сопротивления зависит от скорости, поэтому ускорение мяча всё время меняется и формулы равноускоренного движения не годятся. Но линейная зависимость \(F=kv\) позволяет обойтись без закона движения: сила сопротивления, умноженная на малый промежуток времени \(dt\), даёт \(k\,dy\), где \(dy\) — смещение мяча за \(dt\), а полное смещение за весь полёт равно нулю. Главная идея — записать второй закон Ньютона для малого промежутка \(dt\) и просуммировать по всему полёту.

Обозначения. Ось \(y\) направим вертикально вверх, начало отсчёта — в точке броска. Через \(v\) обозначим проекцию скорости мяча на ось \(y\): в начале полёта \(v=v_1\), в конце \(v=-v_2\), где \(v_1\) и \(v_2\) — модули скоростей. \(m\) — масса мяча, \(k\) — коэффициент пропорциональности (модуль силы сопротивления равен \(k|v|\)), \(T\) — время полёта. Проекции оставляем со знаком: так не нужно отдельно разбирать подъём и спуск.

1. Второй закон Ньютона для мяча. На мяч действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, направленная против скорости. В проекции на ось \(y\) сила тяжести равна \(-mg\), сила сопротивления равна \(-kv\): при подъёме \(v>0\) и сила направлена вниз, при спуске \(v<0\) и сила направлена вверх. Одна запись верна на всём пути: \[m\frac{dv}{dt}=-mg-kv .\]

2. Малый промежуток времени. Умножим уравнение на \(dt\) и учтём, что \(v\,dt=dy\) — смещение мяча за \(dt\): \[m\,dv=-mg\,dt-k\,dy .\]

3. Суммирование по всему полёту. Сложим эти равенства для всех малых промежутков от броска до падения на землю. Слева сложатся изменения скорости: от \(v_1\) до \(-v_2\). Справа \(-mg\,dt\) даёт \(-mgT\), а \(-k\,dy\) даёт \(-k\), умноженное на полное смещение. Мяч упал на тот же уровень, с которого его бросили, поэтому полное смещение равно нулю: \[m(-v_2-v_1)=-mgT-k\cdot 0 .\] Обратите внимание: сопротивление «запоминает» только смещение, а не путь. Подъём вверх и спуск вниз вычитаются друг из друга, поэтому коэффициент \(k\) в ответе не появляется: он спрятан в скорости падения \(v_2\).

Отсюда \[T=\frac{v_1+v_2}{g}.\]

Тот же вывод виден на графике проекции скорости: путь вверх — площадь \(S_1\) над осью времени, путь вниз — площадь \(S_2\) под осью, и \(S_1=S_2\), потому что мяч вернулся на прежний уровень. График построен для примера: \(v_1=10\text{ м/с}\), \(mg/k=8\text{ м/с}\); тогда численное решение уравнения \(m\,dv/dt=-mg-kv\) даёт \(v_2\approx5{,}4\text{ м/с}\) и \(T\approx1{,}54\text{ с}\), что совпадает с \((v_1+v_2)/g\).

Проверка. Размерность: \([v/g]=\text{м/с}\big/\text{м/с}^2=\text{с}\). При \(k\to0\) сопротивления нет, \(v_2=v_1\), и \(T=2v_1/g\) — известное время полёта без сопротивления. С сопротивлением \(v_2<v_1\) (часть энергии ушла в тепло), поэтому \(T<2v_1/g\): мяч падает быстрее, чем без воздуха, как и должно быть.

Ответ: \(T=\dfrac{v_1+v_2}{g}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.