Смесь азота и кислорода

Газы в смеси не мешают друг другу, давление смеси — сумма давлений каждого. Излом на графике — момент, когда один из газов стал насыщенным и начал конденсироваться: его давление дальше не растёт. Что даёт примечание об азоте?

\(m_{\text{O}_2}\approx50\) г;  \(p_{\text{н}}\approx0{,}2\) атм \(\approx2\cdot10^{4}\) Па.

Что происходит. Газы в смеси не мешают друг другу: давление смеси равно сумме парциальных давлений. Пока газ ненасыщенный, его давление подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона. Когда парциальное давление газа достигает давления насыщенного пара, газ начинает конденсироваться: при постоянной температуре давление его пара остаётся равным \(p_{\text{н}}\), а объём газа уменьшается за счёт образования жидкости. Два излома графика (при \(V=8\) и \(V=4\)) — моменты, когда насыщаются сначала один газ, затем другой. Главная идея — снять с графика давление в двух изломах и из двух уравнений найти количества газов и давления насыщенных паров.

Обозначения. \(p_{\text{N}}\), \(p_{\text{O}}\) — парциальные давления азота и кислорода; \(p_{\text{нN}}\), \(p_{\text{нO}}\) — давления их насыщенных паров при \(77{,}4\) К; \(\nu_{\text{N}}\), \(\nu_{\text{O}}\) — количества веществ; \(C_{\text{N}}=\nu_{\text{N}}RT\) и \(C_{\text{O}}=\nu_{\text{O}}RT\) — произведения \(pV\) каждого газа в условных единицах графика. Участки графика: I — \(V>8\), II — \(4<V<8\), III — \(V<4\). Давление и объём читаем в условных единицах, ось \(V\) идёт слева направо, а сжатие — справа налево.

1. Участок I: оба газа ненасыщенные. Каждый газ — идеальный, \(p_{\text{N}}V=C_{\text{N}}\) и \(p_{\text{O}}V=C_{\text{O}}\) при постоянной температуре, поэтому \[p=\frac{C_{\text{N}}+C_{\text{O}}}{V}\] — гипербола. Так и идёт правая часть графика: при \(V=10\) давление около \(3{,}5\), при \(V=8\) около \(4{,}4\), то есть \(pV\approx35\).

2. Участок II: кислород насыщен. В точке \(V=8\) насыщается кислород, дальше он конденсируется, и его парциальное давление остаётся равным \(p_{\text{нO}}\). Азот по-прежнему идеальный газ. Давление смеси на участке II и значение в точке излома: \[p=\frac{C_{\text{N}}}{V}+p_{\text{нO}},\qquad p_{\text{нO}}=\frac{C_{\text{O}}}{8}.\] Обратите внимание: что насыщается первым именно кислород, видно из примечания. Если бы при \(V=8\) первым насыщался азот, те же уравнения дали бы \(p_{\text{нN}}=1{,}4\) и \(p_{\text{нO}}=6{,}0\) условных единиц, то есть давление насыщенного пара кислорода оказалось бы больше, чем у азота. Но кислород кипит при более высокой температуре, значит, при \(77{,}4\) К давление его насыщенного пара меньше. Поэтому первым насыщается кислород, вторым — азот.

3. Участок III: насыщены оба газа. В точке \(V=4\) насыщается азот: \(p_{\text{нN}}=C_{\text{N}}/4\). Левее этой точки жидкими становятся оба вещества, давления их паров постоянны, и давление смеси постоянно: \[p_4=p_{\text{нN}}+p_{\text{нO}}=\frac{C_{\text{N}}}{4}+p_{\text{нO}} .\] Запишем формулу участка II в точке \(V=8\) и в точке \(V=4\): \[p_8=\frac{C_{\text{N}}}{8}+p_{\text{нO}},\qquad p_4=\frac{C_{\text{N}}}{4}+p_{\text{нO}} .\] Вычтем первое равенство из второго: \(\dfrac{C_{\text{N}}}{8}=p_4-p_8\). По графику \(p_8=4{,}4\) и \(p_4=7{,}4\) условных единиц, поэтому \[C_{\text{N}}=8(p_4-p_8)=24,\qquad p_{\text{нO}}=p_8-\frac{C_{\text{N}}}{8}=2p_8-p_4=1{,}4,\qquad C_{\text{O}}=8\,p_{\text{нO}}=11{,}2 .\] Проверка по третьей точке графика: на участке I при \(V=10\) получаем \(p=(24+11{,}2)/10=3{,}5\) — как на графике.

На втором рисунке показаны парциальные давления: давление азота (до \(V=4\) — гипербола \(C_{\text{N}}/V\), затем постоянное \(p_{\text{нN}}=6{,}0\)), давление кислорода (до \(V=8\) — гипербола \(C_{\text{O}}/V\), затем постоянное \(p_{\text{нO}}=1{,}4\)) и их сумма — график из условия.

4. Масса кислорода. Отношение количеств веществ равно отношению \(pV\) при одной температуре: \(\nu_{\text{O}}/\nu_{\text{N}}=C_{\text{O}}/C_{\text{N}}\). Массы связаны с количествами веществ через молярные массы \(M_{\text{N}}=28\) г/моль и \(M_{\text{O}}=32\) г/моль: \[m_{\text{O}}=m_1\,\frac{M_{\text{O}}}{M_{\text{N}}}\,\frac{C_{\text{O}}}{C_{\text{N}}} =m_1\,\frac{M_{\text{O}}}{M_{\text{N}}}\cdot\frac{2p_8-p_4}{p_4-p_8} =100\text{ г}\cdot\frac{32}{28}\cdot\frac{11{,}2}{24}\approx53\text{ г}.\] С точностью, с которой читается график (около \(10\,\%\)), это около \(50\) г.

5. Давление насыщенного пара кислорода. В условных единицах \(p_{\text{нO}}=1{,}4\), а \(p_{\text{нN}}=p_4-p_{\text{нO}}=6{,}0\). По примечанию \(77{,}4\) К — температура кипения азота при нормальном давлении, то есть давление его насыщенного пара при этой температуре равно одной атмосфере: \(6{,}0\) условных единиц \(=1\) атм. Обратите внимание: перевести условные единицы в паскали можно только через азот, другого опорного значения в условии нет. Тогда \[p_{\text{нO}}=\frac{1{,}4}{6{,}0}\text{ атм}\approx0{,}23\text{ атм}\approx2\cdot10^{4}\text{ Па}.\]

Проверка. Единицы графика на ответ не влияют: в формуле массы стоят отношение \(pV\) и отношение молярных масс. Для \(V=6\) формула участка II даёт \(p=24/6+1{,}4=5{,}4\) — на графике около \(5{,}3\). Табличное давление насыщенного пара кислорода при \(77\) К порядка \(0{,}2\) атм, как и в нашем ответе.

Ответ: \(m_{\text{O}}=m_1\dfrac{M_{\text{O}}}{M_{\text{N}}}\dfrac{2p_8-p_4}{p_4-p_8}\approx53\) г, то есть около \(50\) г; \(p_{\text{нO}}=\dfrac{2p_8-p_4}{2(p_4-p_8)}\text{ атм}\approx0{,}2\) атм \(\approx2\cdot10^{4}\) Па.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.