Камеры с одноатомным газом

Сравните равновесные температуры смеси при одинаковом числе открытых верхних и нижних камер и при одной лишней верхней камере. Подставьте три значения температуры с графика и найдите число камер из полученной системы.

Введём \(\alpha = T_1/T_0 > 1\) и обозначим число молей газа в каждой верхней камере через \(\nu_0\); тогда в каждой нижней камере \(\nu_0/\alpha\). Рассмотрим момент, когда открыто \(n\) нижних камер; среди верхних открыто либо \(n\), либо \(n+1\).

1) Открыто \(n\) нижних и \(n\) верхних камер. Перегородки теплоизолированы, внутренняя энергия при смешивании не меняется: \[\dfrac{3}{2}n\nu_0RT_0 + \dfrac{3}{2}n\dfrac{\nu_0}{\alpha}R\alpha T_0 = \dfrac{3}{2}\left(\nu_0 + \dfrac{\nu_0}{\alpha}\right)nRT_*,\] откуда \(T_* = \dfrac{2\alpha}{\alpha+1}T_0\) — температура не зависит от \(n\).

2) Открыто \(n\) нижних и \(n+1\) верхних камер. Аналогично \[T_n = \dfrac{(2n+1)\alpha}{(\alpha+1)n + \alpha}\,T_0 .\]

По графику определяем три равновесные температуры: \[T_* = 468~\text{K}, \qquad T_n = 450~\text{K}, \qquad T_{n+1} = 455~\text{K}.\] Отношения \(T_*/T_n\) и \(T_*/T_{n+1}\) дают уравнение, содержащее только \(n\): \[(2n+3)\dfrac{T_*}{T_{n+1}} = 2 + (2n+1)\dfrac{T_*}{T_n} \quad\Rightarrow\quad n = \dfrac{3T_*T_n - T_*T_{n+1} - 2T_nT_{n+1}}{2T_*(T_{n+1}-T_n)}.\] Подставляя значения, получаем \(n = 2\): к моменту \(t_0\) объединены две верхние и две нижние камеры. Из уравнения \(\dfrac{\alpha}{\alpha+1} = \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{468}{450} - 2\) находим \(\alpha = 3/2\). Затем из \(T_* = \dfrac{2\alpha}{\alpha+1}T_0\): \[T_0 = \dfrac{3/2 + 1}{2\cdot 3/2}\cdot 468~\text{K} = 390~\text{K}, \qquad T_1 = \dfrac{3}{2}\cdot 390~\text{K} = 585~\text{K}.\]