Два цилиндра и сжатая пружина

Выпишите условия равновесия каждого цилиндра по силам и моментам относительно оси. Рассмотрите отдельно предельный случай скольжения (трение покоя равно \(\mu N\)) и случай отрыва левого цилиндра от пола.

Левый цилиндр. На рисунке отмечены силы: \(F_1\), \(F_2\) — силы трения о стенку и пол, \(N_1\), \(N_2\) — нормальные реакции, \(F\) — сила пружины. Условия равновесия: \[F_1 - mg + \dfrac{1}{2}F + N_2 = 0, \qquad N_1 - F_2 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}F = 0, \qquad \dfrac{1}{2}F - F_1 - F_2 = 0\] (последнее — условие равновесия моментов относительно оси цилиндра).

Предельный случай: цилиндр начинает вращаться против хода часовой стрелки, скользя по стенке и полу, \(F_1 = \mu N_1\), \(F_2 = \mu N_2\). Решая систему, получаем \[F_L = \dfrac{2\mu(\mu+1)mg}{(2+\sqrt{3})\mu^2 - (\sqrt{3}-1)\mu + 1}, \quad N_1 = \dfrac{(\sqrt{3}+1)\mu mg}{(2+\sqrt{3})\mu^2 - (\sqrt{3}-1)\mu + 1}, \quad N_2 = \dfrac{(1-\mu\sqrt{3})mg}{(2+\sqrt{3})\mu^2 - (\sqrt{3}-1)\mu + 1}.\] При \(\mu > 1/\sqrt{3}\) величина \(N_2\) отрицательна, то есть цилиндр отрывается от пола, и предположение о скольжении по полу неверно. Тогда \(N_2 = F_2 = 0\), и из системы получаем \(F = mg\), \(N_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}mg\), \(F_1 = \dfrac{1}{2}mg\). При этом \(F_1 < \mu N_1\), так что при \(\mu > 1/\sqrt{3}\) цилиндр начинает качение по стенке без проскальзывания, а необходимая для этого сила со стороны пружины равна \(mg\).

Итог для левого цилиндра: при \(\mu < 1/\sqrt{3}\) вращение на месте начинается при \(F = F_L(\mu)\); при \(\mu > 1/\sqrt{3}\) — при \(F = mg\). Заметим, что \(F_L(1/\sqrt{3}) = mg\), то есть предельное значение \(F\) непрерывно зависит от коэффициента трения.

Правый цилиндр. На рисунке указаны силы, действующие на него; направления сил трения \(F_3\) и \(F_4\) зафиксированы, в предельном случае \(F_3 = \mu N_3\), \(F_4 = \mu N_4\): \[-\dfrac{1}{2}F - mg + N_4 - \mu N_3 = 0, \qquad \dfrac{\sqrt{3}}{2}F - \mu N_4 - N_3 = 0, \qquad \dfrac{1}{2}F - \mu N_3 - \mu N_4 = 0.\]

Решение этой системы: \[F_R = \dfrac{2\mu(1-\mu)mg}{(2-\sqrt{3})\mu^2 - (\sqrt{3}+1)\mu + 1}, \quad N_3 = \dfrac{\mu(\sqrt{3}-1)mg}{(2-\sqrt{3})\mu^2 - (\sqrt{3}+1)\mu + 1}, \quad N_4 = \dfrac{(1-\mu\sqrt{3})mg}{(2-\sqrt{3})\mu^2 - (\sqrt{3}+1)\mu + 1}.\] Знаменатель может обращаться в нуль при корнях \[\mu_\pm = \dfrac{1}{2}\left(2+\sqrt{3}\right)\left[1 + \sqrt{3} \pm \sqrt{2\left(3\sqrt{3}-2\right)}\right],\] причём \(\mu_- \approx 0{,}38\), \(\mu_+ \approx 9{,}8\). При \(\mu \to \mu_-\) сила \(F_R\) стремится к бесконечности: при \(\mu \geqslant \mu_-\) правый цилиндр заклинивает и остаётся в равновесии при любой \(F\). При \(\mu < \mu_-\) правый цилиндр начинает вращаться при \(F = F_R(\mu)\).

Сравнение. При \(0 < \mu < \mu_-\) разность \[F_L - F_R = \dfrac{8\mu^3(\mu - \sqrt{3})mg}{D_L D_R}\] (где \(D_L\), \(D_R\) — знаменатели соответствующих дробей) отрицательна, поэтому \(F_L < F_R\), и минимальная сила равна \(F_L(\mu)\).

Ответ: при \(0 < \mu < 1/\sqrt{3}\) минимальное \(F = F_L(\mu)\), левый цилиндр начинает вращаться на месте против хода часовой стрелки; при \(\mu > 1/\sqrt{3}\) минимальное \(F = mg\), левый цилиндр начинает качение по стенке без проскальзывания.