Картина на гвозде

Будем считать, что картина является однородной и висит ровно, то есть касается стены нижней стороной. Обозначим искомый угол между картиной и стеной в положении равновесия через \(\alpha_0\), угол между верёвкой и стеной — через \(\beta_0\), силу натяжения верёвки при равновесии через \(T\), а соответствующую силу реакции стены в точке \(O\) — через \(N\) (см. рис. 1.178).

Запишем условия равновесия картины. Сумма проекций сил на горизонтальное и вертикальное направления должна быть равна нулю, откуда \[N = T\sin\beta_0,\quad mg = T\cos\beta_0.\] Сумма моментов сил относительно точки \(A\) также равна нулю: \[mgd\sin\alpha_0 = N(l - d)\cos\alpha_0.\] Используя теорему синусов для треугольника \(AOB\), имеем: \[a\sin\beta_0 = (l - d)\sin\alpha_0.\] Прежде всего заметим, что у этой системы уравнений имеется простое решение: \[\alpha_0 = \beta_0 = 0.\] При этом \(T = mg\) и \(N = 0\), то есть картина висит вертикально.

Если считать, что \(\alpha_0 \neq 0\), то из записанной системы уравнений следует, что \(N = mg\operatorname{tg}\beta_0\), и \(\operatorname{tg}\beta_0 = \dfrac{d}{l - d}\operatorname{tg}\alpha_0\). С учётом этого получаем второе решение: \[\sin^2\alpha_0 = \dfrac{\left(\dfrac{a}{l - d}\right)^2 - \left(\dfrac{l - d}{d}\right)^2}{1 - \left(\dfrac{l - d}{d}\right)^2}.\qquad(1)\] Исследуем полученные решения, то есть найдём, при каких соотношениях между \(d\), \(a\) и \(l\) они реализуются. Для этого определим, как зависит потенциальная энергия \(U\) картины от величины угла \(\alpha\), который она составляет со стеной. Направим координатную ось \(Y\) вверх и будем отсчитывать потенциальную энергию от положения, в котором находится центр масс картины при натянутой вертикально верёвке: \(U(\alpha) = mgy(\alpha)\), где \[y(\alpha) = a(1 - \cos\beta) - d(1 - \cos\alpha) = a - d + d\cos\alpha - \sqrt{a^2 - (l - d)^2\sin^2\alpha}.\qquad(2)\] (здесь \(\beta\) — угол между стеной и верёвкой тогда, когда картина образует со стеной угол \(\alpha\)).

Выясним, при каких условиях найденные выше значения \(\alpha_0\) соответствуют положению устойчивого равновесия. Для этого предположим, что картина сначала была прижата к стене при натянутой верёвке, то есть составляла со стеной угол \(\alpha = 0\) и имела при этом потенциальную энергию \(U(0) = 0\). Для того, чтобы положение равновесия, соответствующее \(\alpha_0 = 0\), было устойчивым, необходимо, чтобы при небольшом отклонении картины от вертикального положения её центр масс поднимался, что соответствует увеличению потенциальной энергии картины.

Пусть картина отклонилась от вертикального положения на небольшой угол \(\Delta\alpha\). При этом высота её центра масс стала равна \[y(\Delta\alpha) = a - d + d\cos\Delta\alpha - \sqrt{a^2 - (l - d)^2\sin^2\Delta\alpha}.\] Так как \(\Delta\alpha \ll 1\), то \(\sin\Delta\alpha \approx \Delta\alpha\), а \(\cos\Delta\alpha \approx 1 - (\Delta\alpha)^2/2\). С учётом этого изменение высоты центра масс картины \[\Delta y = y(\Delta\alpha) - y(0) \approx\] \[\approx a - d + d\left(1 - \dfrac{(\Delta\alpha)^2}{2}\right) - \sqrt{a^2 - (l - d)^2(\Delta\alpha)^2} =\] \[= a - \dfrac{(\Delta\alpha)^2d}{2} - \sqrt{a^2 - (l - d)^2(\Delta\alpha)^2} > 0.\] Отсюда находим, что \(ad - (l - d)^2 < \left(\dfrac{d\Delta\alpha}{2}\right)^2\). Так как \(\Delta\alpha \to 0\), то из записанного неравенства следует ограничение на параметры задачи: \(a < (l - d)^2/d\) при \(\alpha_0 = 0\).

Теперь рассмотрим случай \(\alpha_0 \neq 0\). При этом угол, соответствующий положению равновесия, выражается формулой (1). Это равновесие будет устойчивым в том случае, если при отклонении картины от вертикального положения на небольшой угол её потенциальная энергия убывает (центр масс опускается), то есть \(\Delta y < 0\). Отсюда следует, что для устойчивости равновесия картины при \(\alpha_0 \neq 0\) должно выполняться условие: \(a > (l - d)^2/d\). Кроме того, в этом случае выражение, содержащееся под корнем в формуле (2), должно быть неотрицательным: \(a^2 - (l - d)^2\sin^2\alpha \geqslant 0\), откуда \(\sin\alpha \leqslant \dfrac{a}{l - d} < 1\) (картина не может находиться в равновесии, располагаясь перпендикулярно стене). Отсюда получаем дополнительное ограничение на параметры задачи: \(a < (l - d)\).

Таким образом, положение равновесия, соответствующее углу \(\alpha_0 \neq 0\), будет устойчивым при \((l - d)^2/d < a < (l - d)\). Именно при выполнении этих условий картина не перевернётся. Из полученных условий следует, что точка крепления верёвки к картине должна находиться на расстоянии \(d > l/2\) ниже её центра масс. Легко проверить, что при указанных условиях \(0 < \sin^2\alpha_0 < 1\), как это и должно быть.

Заметим, что формулу (1) для \(\alpha_0\) можно получить и непосредственно из выражения для \(U(\alpha)\), найдя при помощи дифференцирования экстремум этой функции, а затем выяснив, при каких условиях он является минимумом.