Нагреватели в схеме источника

Последовательное соединение двух элементов с \(U = \alpha_1 I^2\) и \(U = \alpha_2 I^2\) — это элемент с \(\alpha_1 + \alpha_2\); при параллельном соединении \(1/\sqrt{\tilde\alpha} = 1/\sqrt{\alpha_1} + 1/\sqrt{\alpha_2}\). Запишите закон Ома для всей цепи с ВАХ \(U = \beta I^2\) и найдите ток, при котором мощность максимальна.

Для двух элементов с ВАХ \(U = \alpha_1 I^2\) и \(U = \alpha_2 I^2\) при последовательном соединении \(\tilde\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\), при параллельном \[\dfrac{1}{\sqrt{\tilde\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{\alpha_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{\alpha_2}}.\] Поэтому любая схема из нагревателей имеет ВАХ \(U = \beta I^2\), а мощность на ней при токе \(I\) даётся формулами \[U_0 = IR + \beta I^2, \qquad I = \dfrac{-R + \sqrt{R^2 + 4\beta U_0}}{2\beta}, \qquad P = (U_0 - IR)I.\]

Мощность как функция тока — парабола с ветвями вниз, максимум при \(I_{\max} = U_0/(2R) = 6{,}25\) А. Ему соответствует \(\beta_{\max} = \dfrac{2R^2}{U_0} = 0{,}32\) В/А\(^2\).

Все неэквивалентные схемы из четырёх нагревателей показаны на рис. (1)–(16) ниже; коэффициенты \(\beta\) для них приведены в таблице.

Ближе всего к \(\beta_{\max}\) коэффициенты схем 6 и 13: \(\beta_6 \approx 0{,}34\) В/А\(^2\) (отклонение \(\approx 0{,}02\)) и \(\beta_{13} \approx 0{,}28\) В/А\(^2\) (отклонение \(\approx 0{,}04\)). Соответствующие токи \(I_6 \approx 6{,}11\) А и \(I_{13} \approx 6{,}54\) А; ток в схеме 6 ближе к \(I_{\max}\). Значит, наибольшую мощность даёт схема 6 из трёх нагревателей, мощность \(P_6 \approx 78{,}08\) Вт.

Ответ: схема 6 из трёх нагревателей, \(P \approx 78{,}08\) Вт.