Фигура с квадратным выступом у гвоздя

Удар о гвоздь гасит только составляющую скорости вдоль прямой, соединяющей центр фигуры и гвоздь. Дальше фигура поворачивается вокруг гвоздя: запишите закон сохранения энергии с учётом работы сил \(T\) и найдите угол, при котором эти силы перестают разгонять вращение.

Рассмотрим основные этапы движения фигуры. На рис. (а) фигура скользит к гвоздю, на рис. (б) — в момент, предшествующий столкновению, на рис. (в) — вращается после удара. Поскольку по условию фигура не может оторваться от гвоздя при вращении, силу реакции пола не обсуждаем; показаны только силы \(T\) со стороны нити и сила тяжести \(Mg\).

Поступательное движение до столкновения: горизонтальная сила \(T\) сообщает фигуре ускорение \(a = T/M\). К моменту столкновения \[v_0 = \sqrt{2Ra} = \sqrt{\dfrac{2RT}{M}}.\] Столкновение абсолютно неупругое, но нецентральное. Разложим \(v_0\) на скорость \(w_0\) вдоль прямой \(O\Gamma\) (через центр цилиндра и гвоздь) и скорость \(u_0\), перпендикулярную ей. Составляющая \(w_0\) при ударе полностью гасится, а \(u_0 = v_0/\sqrt{2}\) не меняется и задаёт начальную скорость вращения фигуры вокруг гвоздя \(\Gamma\). Тот же результат даёт закон сохранения момента импульса относительно \(\Gamma\): \(Mv_0R = Mu_0\sqrt{2}R\), откуда \(v_0 = \sqrt{2}\,u_0\). Итак, сразу после удара кинетическая энергия фигуры равна \(Mu_0^2/2 = TR/2\).

Пусть положение фигуры задаётся углом \(\varphi\); в начальный момент вращения \(\varphi_0 = \pi/4\). При повороте вокруг гвоздя центр масс поднимается и смещается вправо: \[\Delta h = \sqrt{2}R(\cos\varphi - \cos\varphi_0) = R\left(\sqrt{2}\cos\varphi - 1\right), \qquad \Delta s = \sqrt{2}R(\sin\varphi_0 - \sin\varphi) = R\left(1 - \sqrt{2}\sin\varphi\right).\] Изменение кинетической энергии: \[\dfrac{Mu^2(\varphi)}{2} - \dfrac{Mu_0^2}{2} = -(Mg+T)\Delta h + T\Delta s = -(Mg+T)R\left(\sqrt{2}\cos\varphi - 1\right) + TR\left(1 - \sqrt{2}\sin\varphi\right).\] Сравним моменты сил относительно \(\Gamma\). Момент горизонтальной силы \(T\) совпадает с моментом двух других сил при угле \(\tilde\varphi\): \[T\cos\tilde\varphi = (T+Mg)\sin\tilde\varphi .\] Это критический угол: до него внешние силы тормозят вращение, дальше — разгоняют. Фигура перевалится через гвоздь, если кинетическая энергия не обращается в ноль при \(\varphi = \tilde\varphi\). Введём \(x \equiv 1 + \dfrac{Mg}{T} = \operatorname{ctg}\tilde\varphi\); тогда \(\sin\tilde\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\), \(\cos\tilde\varphi = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\), и условие принимает вид \[\dfrac{3}{2} + x > \sqrt{2}\left(x\cos\tilde\varphi + \sin\tilde\varphi\right) = \sqrt{2}\sqrt{1+x^2}.\] Решая неравенство с учётом \(x > 1\), получаем \(1 < x < \dfrac{3+\sqrt{10}}{2}\). Отсюда \[T > \dfrac{2Mg}{1+\sqrt{10}}.\]