Неупругие столкновения

Удар неупругий: сохраняется импульс системы. После удара сохраняется механическая энергия, и шар с пулей поднимается на высоту, зависящую от скорости сразу после удара.

Разбей процесс на два этапа: быстрое застревание пули и последующее сжатие пружины. Что сохраняется на каждом этапе?

После удара перейдите в систему центра масс: в ней обе части системы равномерно вращаются вокруг центра масс. Когда скорость шайбы \(2m\) в лабораторной системе максимальна?

a) \(t \approx 6\) с;  b) \(5\) см/с.

После попадания пластилина в шайбу центр масс образовавшейся системы (располагающийся в середине нитки) движется с постоянной скоростью, равной \(\dfrac v4 = 2{,}5\) см/с, при этом шайбы в системе центра масс вращаются с угловой скоростью \(\omega = \dfrac{v}{2l} = 0{,}5\) рад/c, где \(l\) "— длина нитки. Скорость шайбы массой \(2m\) достигает максимума за время, равное половине периода: \(t = \dfrac{\pi}{\omega} \approx 6\) с. Максимальное значение скорости шайбы массой \(2m\) при этом оказывается равно \(\dfrac v2 = 5\) см/c.

Перейдите в систему центра масс: в ней шайбы вращаются вокруг центра масс по окружностям. Учтите, что скорость самого центра масс постоянна.

a) \(t = \dfrac{2\pi L}{v} \approx 1{,}6\) с;  b) \(v_{\min} = 0\).

Центр масс трёх досок движется равномерно — найдите, где он относительно доски \(a\) в начале и в конце. Сила трения пропорциональна длине перекрытия досок \(a\) и \(c\), поэтому относительное движение — четверть периода гармонических колебаний с амплитудой \(L\).

\(\Delta x = \dfrac{2(\pi + 1)L}{3}\).

Пусть \(v_0\) — скорость досок \(a\) и \(b\) до соударения с доской \(c\), а \(m\) — масса каждой из досок. Поскольку трения между досками \(a\) и \(b\) нет, а доски \(b\) и \(c\) при ударе скрепляются — сразу после удара скорость доски \(a\) равна \(v_0\), а скорость досок \(b\) и \(c\) равна \(v_0/2\) из закона сохранения импульса.

Введём ось \(x\) по направлению скорости \(v_0\). Поскольку горизонтальная поверхность гладкая — центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной \(v_\text{цм} = 2v_0/3\). В момент удара центр масс системы опережает центр доски \(a\) на величину \(l/3\), а к моменту, когда доска \(a\) целиком оказалась на доске \(c\), центр масс системы отстаёт от центра доски на ту же величину \(l/3\). Тогда для перемещения доски \(a\) получим: \[\Delta x = \Delta x_\text{цм} + \frac{2l}{3} = \frac{2(v_0\tau + l)}{3},\] где \(\tau\) — время движения доски \(a\) относительно досок \(b\) и \(c\). Далее объединим доски \(b\) и \(c\) в одно тело массой \(2m\) и будем характеризовать его индексом 2. Доску \(a\) будем характеризовать индексом 1. Пусть \(\vec F\) — сила трения, действующая на первое тело со стороны второго, а \(x\) — их относительное перемещение после удара. Отметим, что трение происходит только в области перекрытия досок \(a\) и \(c\). Величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции шероховатой части поверхности опоры, и поэтому \(F_x = -\mu mgx/l\). Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел: \[m\vec a_1 = \vec F, \qquad 2m\vec a_2 = -\vec F,\] откуда:

\[\vec a_1 - \vec a_2 = \vec a_\text{отн} = \frac{\vec F}{m} + \frac{\vec F}{2m} = \frac{2\vec F}{3m}.\] Тогда получим уравнение движения для переменной \(x\): \[\ddot x = -\frac{2\mu g x}{3L}.\] Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega_0 = \sqrt{2\mu g/3L}\). Его общее решение: \[x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0).\] Определим \(A\) и \(\varphi_0\) из начальных условий: \[\begin{cases} x(0) = A\sin\varphi_0 = 0\\[2pt] \dot x(0) = \dfrac{v_0}{2} = \omega A\cos\varphi_0 \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \varphi_0 = 0\\[2pt] A = \dfrac{v_0}{2\omega} \end{cases}\] Величина \(A\) имеет смысл амплитуды колебаний, которая также равна \(L\), поскольку относительное движение досок прекращается, когда доска \(a\) целиком оказывается на доске \(c\). Таким образом, имеем связь: \[\frac{v_0}{2\omega} = L.\] Время движения \(\tau\) является четвертью периода гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega_0\), откуда: \[\tau = \frac{\pi}{2\omega}.\] Тогда для перемещения центра масс имеем: \[\Delta x_\text{цм} = \frac{2v_0\tau}{3} = \frac{2\pi L}{3},\] и окончательно находим: \[\Delta x = \Delta x_\text{цм} + \frac{2L}{3} = \frac{2(\pi + 1)L}{3}.\]

Из условия остановки первой шайбы связь \(k\) и коэффициента восстановления скорости \(e\) находится из законов сохранения импульса и определения \(e\); «одинаковое качество» означает один и тот же \(e\) во втором ударе.

Во время удара сохраняется проекция импульса системы на направление наклонной плоскости (вдоль неё внешние силы малы по сравнению с ударными). Затем найдите потерю механической энергии.

\(\Delta Q = m\left(gH + \dfrac{V^2}{3}\right)\).

Запишите законы сохранения импульса и энергии (с учётом \(E_0\)). Во втором пункте удобно изобразить импульсы частиц векторным треугольником.

a) столбец 5;  b) столбец 4.

Запишите законы сохранения импульса и энергии с учётом \(E_0\). Во втором пункте угол между скоростями связан с квадратом скорости налетающей частицы после удара через теорему косинусов для треугольника импульсов.

1) 5;  2) 4.

В момент зацепления скорость среднего шарика вертикальна, а проекции скоростей шариков на горизонтальную нить равны — значит, боковые шарики ещё покоятся. В системе отсчёта, движущейся вместе со средним шариком, боковой шарик идёт по окружности радиуса \(d\): отсюда его ускорение.

Натяжение боковых нитей \(T_1 = \dfrac{mg}{3}\left(2\sqrt3 + 4\dfrac{h}{d}\right)\), горизонтальной нити \(T_2 = \dfrac{mg}{3}\left(\sqrt3 + 8\dfrac{h}{d}\right)\).

Скорость падающего шарика в момент, когда он цепляется за горизонтальную нить, \(v = \sqrt{2gh}\). Рассмотрим движение одного из шариков, подвешенных на нитях (на рисунке 1 — левого). Он движется по окружности с центром в точке крепления нити на левой стенке. Проекции скоростей левого и центрального шарика на горизонтальную нить должны быть равны. Скорость центрального шарика \(v\) направлена вертикально вниз. Следовательно, скорость левого шарика в начальный момент времени равна нулю. Нормальная проекция ускорения левого шарика, поэтому равна нулю, есть только тангенциальная составляющая \(\vec a_\tau = \vec a\). Определим эту величину.

Способ 1. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вниз с постоянной скоростью \(\vec v\) (рис. 2). В ней левый шарик движется по окружности, центром которой является центральный шарик. Нормальная проекция ускорения в этой системе отсчёта направлена вдоль нити и равна \(a_n' = v^2/d\). Но переход в инерциальную систему отсчёта не меняет ни величину, ни направление ускорения. Поэтому \(a_n\) является проекцией \(\vec a\) на горизонтальную нить \[a_n' = a\cdot\cos\alpha, \quad \frac{v^2}{d} = a\cdot\cos30^\circ, \quad a = \frac{2v^2}{\sqrt3\,d}.\]

Способ 2. Перейдем в неинерциальную систему отсчёта левого шарика, тогда на центральный шарик будет дополнительно действовать сила инерции \(-m\vec a\) (см. рис.). Запишем для центрального шарика уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось: \[m\frac{v^2}{d} = T_2 - ma\cos30^\circ - T_2'.\] Откуда получаем тот же ответ.

Теперь уже несложно найти натяжения \(T_1\) боковой и \(T_2\) горизонтальной нитей. Из второго закона Ньютона для левого шарика \[m\frac{v^2}{d} = T_2 - T_1\cdot\sin30^\circ, \quad m\frac{v^2}{\sqrt3\,d} = T_1\cos30^\circ - mg.\] Решая систему, получаем

\[T_1 = \frac{2\sqrt3}{3}mg + \frac{2mv^2}{3d}, \quad T_2 = \frac{\sqrt3}{3}mg + \frac{4mv^2}{3d}g.\] Заменив \(v^2 = 2gh\), получаем окончательно \[T_1 = \frac{mg}{3}\left(2\sqrt3 + 4\frac{h}{d}\right), \quad T_2 = \frac{mg}{3}\left(\sqrt3 + 8\frac{h}{d}\right).\]

При ударе по гладкой шайбе импульс силы направлен вдоль нормали. Запишите закон сохранения импульса и определение \(e\) отдельно для каждого из двух ударов; неизвестных ровно два.

\(n = 2\), \(e = 0{,}5\).