зад 1 Анемометры на двух баржах
Две самоходные баржи равномерно движутся по озеру во взаимно перпендикулярных направлениях. Скорость одной баржи \(V_1 = 3\) м/с, а другой \(V_2 = 4\) м/с. На каждой барже установлен анемометр "— прибор для измерения модуля скорости ветра. В течение некоторого времени на каждом из кораблей каждую минуту снимают показания анемометров. По результатам измерений обнаружилось, что значения скорости ветра, полученные на первой барже, не превышали скорости баржи \(V_1\), а на второй "— не превышали \(V_2\). Какого максимального значения могла достигать скорость ветра относительно озера во время измерений? Какой угол \(\alpha\) составляла скорость первой баржи \(\vec V_1\) с направлением ветра в момент, когда скорость ветра относительно озера была максимальной?
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость ветра относительно баржи "— это разность скорости ветра и скорости баржи. Нарисуйте векторы скорости ветра относительно озера и относительно барж из одной точки: где может лежать конец вектора скорости ветра?
▶ОтветСкрыть
\(w_{\max} = \dfrac{2V_1V_2}{\sqrt{V_1^2+V_2^2}} = 4{,}8\) м/с; \(\alpha = \arccos\dfrac{V_2}{\sqrt{V_1^2+V_2^2}} = \arccos\dfrac45 \approx 37^\circ\).
зад 2 Доска и брусок с гирьками
На горизонтальном столе лежит доска массой \(m_1 = 1\) кг, на которой находится брусок массой \(m_2 = 2\) кг. К бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, второй конец которой перекинут через идеальный блок, закреплённый на краю доски. Коэффициент трения между доской и бруском \(\mu = 0{,}2\). Вертикальный участок нити начинают аккуратно нагружать одинаковыми гирьками массами \(\Delta m = 75\) г каждая. При каком минимальном количестве \(n\) гирек система придёт в движение? Найдите модули и направления ускорений, с которыми в этом случае начнут двигаться доска и брусок. Трением между доской и поверхностью стола можно пренебречь, модуль ускорения свободного падения можно принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Движение начнётся, когда сила натяжения нити сможет превысить максимальную силу трения покоя между бруском и доской. Затем запишите второй закон Ньютона для бруска, доски и гирек и свяжите их ускорения условием нерастяжимости нити.
▶ОтветСкрыть
Система придёт в движение при минимальном количестве гирек \(n = 6\); доска начнёт двигаться с ускорением \(a_{1x} = \dfrac{1-\dfrac{\mu m_2}{6\Delta m}}{1+\dfrac{m_1}{m_2}+\dfrac{m_1}{6\Delta m}}\,g \approx 0{,}3\) м/с\(^2\), направленным вправо; брусок начнёт двигаться с ускорением \(|a_{2x}| = \dfrac{\dfrac{\mu m_2}{6\Delta m}-1}{1+\dfrac{m_2}{m_1}+\dfrac{m_2}{6\Delta m}}\,g \approx 0{,}17\) м/с\(^2\), направленным влево.
зад 3 Сила на частицу и работа
Частица массой \(m\), свободно летящая со скоростью \(V\), попадает в область пространства, в которой в течение времени \(\tau = 1\) с на неё действует постоянная по модулю и направлению сила \(\vec F\). К моменту прекращения действия этой силы частица движется со скоростью \(2V\) в направлении, перпендикулярном первоначальному. Какое время потребовалось бы такой же по модулю и направлению силе, чтобы совершить над частицей вдвое большую работу (при той же начальной скорости частицы)? Влиянием других сил пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Работа силы равна изменению кинетической энергии, а изменение импульса за время \(t\) равно \(\vec F t\). Из первого опыта выразите \(F\tau\) через \(mV\) и найдите скорость частицы во втором случае.
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{1+\sqrt{31}}{5}\,\tau \approx 1{,}3\) с.
зад 4 Кислород в p–T–m-ограничениях
Кислород находится в специальном устройстве, которое обеспечивает ограничение на возможные значения объёма, давления \(p\), температуры \(T\) и массы \(m\) газа. Все возможные значения \(p\), \(T\) и \(m\), будучи нанесёнными на трёхмерную \(p\)–\(T\)–\(m\)-диаграмму (см. рис.), лежат внутри цилиндрической поверхности, ограниченной диапазонами изменения давления от 100 кПа до 300 кПа, массы от 1 г до 3 г и температуры от 100 К до 300 К. Найдите минимальное и максимальное значение, которое может принимать объём газа, и укажите значения \(p\), \(T\) и \(m\), которые соответствуют этим состояниям. Молярная масса кислорода \(\mu = 32\) г/моль.
▶ПодсказкаСкрыть
Из уравнения состояния \(V = mRT/(\mu p)\). Давление в числителе и знаменателе стоит по-разному, а вот \(m\) и \(T\) входят в виде произведения \(mT\): при каких значениях \(m\) и \(T\) в области, заданной цилиндром, это произведение экстремально?
▶ОтветСкрыть
\(V_{\min} = \dfrac{\left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 m_0T_0R}{\mu p_{\max}} \approx 0{,}145\) л, \(V_{\max} = \dfrac{\left(2+\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 m_0T_0R}{\mu p_{\min}} \approx 1{,}903\) л, где \(m_0 = 1\) г и \(T_0 = 100\) К.
Минимальное значение объёма достигается при \(p = 300\) кПа, \(m = \left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)m_0 \approx 1{,}29\) г и \(T = \left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)T_0 \approx 129\) К.
Максимальное значение объёма достигается при \(p = 100\) кПа, \(m = \left(2+\frac{1}{\sqrt2}\right)m_0 \approx 2{,}71\) г и \(T = \left(2+\frac{1}{\sqrt2}\right)T_0 \approx 271\) К.
зад 5 Проволочная сетка между A и B
Определите сопротивление \(R_{AB}\) между точками \(A\) и \(B\) проволочной сетки, показанной на рисунке. Сопротивление каждого из проводников (вне зависимости от его длины), из которых спаяна сетка, равно \(R\). Места спайки проводников обозначены точками. В центре сетки электрический контакт отсутствует.
▶ПодсказкаСкрыть
Используйте симметрию относительно оси, проходящей через середину отрезка \(AB\): найдите узлы с равными потенциалами или расставьте токи по симметричным ветвям и выразите их через один неизвестный ток.
▶ОтветСкрыть
\(R_{AB} = \dfrac{5}{9}\,R\).
зад 6 Букашка на падающем стержне
Жёсткий стержень \(AB\) длиной \(L\) лежит на горизонтальном полу, придвинутый одним из своих концов вплотную к вертикальной стене, как показано на рисунке. В точке \(A\) сидит букашка. В тот момент, когда конец \(A\) стержня начали двигать вверх вдоль стены с постоянной по модулю скоростью \(V\), букашка поползла по стержню с постоянной относительно стержня скоростью \(u\) в направлении конца \(B\), который скользит по полу, не отрываясь от него. Найдите максимальное расстояние \(S\) от стенки до букашки в процессе её движения по стержню.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите расстояние от букашки до стенки через угол наклона стержня и пройденный букашкой путь. Подумайте, при каком угле наклона это расстояние максимально и успеет ли букашка добраться до конца стержня к этому моменту.
▶ОтветСкрыть
\(S = \dfrac{u}{V}\cdot\dfrac{L}{2}\) при \(u < \sqrt2\,V\); \(S = L\sqrt{1-\left(\dfrac{V}{u}\right)^2}\) при \(u \geq \sqrt2\,V\).
зад 7 Пластилин падает на брусок
По закреплённой наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha\) с горизонтом, скользил брусок массой \(2m\), двигаясь с постоянной скоростью \(V\). Сверху без начальной скорости отпустили кусок пластилина массой \(m\). Пролетев расстояние \(H\), пластилин упал на брусок и прилип к нему. Какое количество теплоты выделилось за время соударения? Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
▶ПодсказкаСкрыть
Во время удара сохраняется проекция импульса системы на направление наклонной плоскости (вдоль неё внешние силы малы по сравнению с ударными). Затем найдите потерю механической энергии.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta Q = m\left(gH + \dfrac{V^2}{3}\right)\).
зад 8 Брусок поворачивается в воде
Деревянный брусок плотностью \(\rho = 500\) кг/м\(^3\) в форме прямоугольного параллелепипеда имеет длину \(L = 1\) м и квадратное поперечное сечение со стороной \(a = 10\) см. Брусок опустили в воду большого озера и удерживали его в таком неустойчивом положении равновесия, что одна из длинных граней бруска была сухой и горизонтальной, при этом половина объёма бруска была погружена в воду. Брусок отпустили, и он принял устойчивое положение, повернувшись вокруг своей оси симметрии на угол \(45^\circ\). На сколько в результате этого уменьшилась потенциальная энергия системы «вода + брусок»? Плотность воды равна \(2\rho\).
▶ПодсказкаСкрыть
Центр масс бруска при повороте не смещается. Изменение потенциальной энергии системы равно работе силы тяжести при «вынимании» бруска из воды в первом положении (вода заполняет выемку) и «доставании» воды из выемки, в которую брусок погружается во втором положении.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta U = \dfrac{\rho g L a^3}{2}\left(\dfrac12 - \dfrac{\sqrt2}{3}\right) \approx 71{,}5\cdot10^{-3}\) Дж.
зад 9 Цикл с изотермой, максимум T
Один моль идеального одноатомного газа совершает замкнутый цикл, состоящий из изотермы 1–2 и процессов 2–3 и 3–1, в которых давление является линейной функцией объёма, как показано на рисунке. Известно, что в состояниях 1 и 2 давление газа равно \(p_1\) и \(p_2\) соответственно. При каких давлениях в состоянии 3 в нём достигается максимальная температура газа за весь цикл?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите уравнение прямой 3–1 и выясните, при каком объёме температура на ней максимальна. Максимум температуры за цикл достигается в точке 3, если этот объём не меньше объёма в состоянии 3; используйте уравнение изотермы 1–2 и связь объёмов.
▶ОтветСкрыть
Максимальная температура газа за весь цикл достигается в состоянии 3 при условии, что давление в этом состоянии \(p_3 \geq \dfrac{p_1^2+p_2^2}{2p_1}\).
зад 10 Три вольтметра и две батареи
Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, собрана из двух батарей с ЭДС \(U_1 = 36\) В и \(U_2 = 12\) В, а также трёх вольтметров. Сопротивление у одного из этих приборов в два раза меньше, чем у каждого из двух других. При этом сопротивление у каждого из вольтметров всё равно значительно больше внутреннего сопротивления каждой батареи. Известно, что один из вольтметров показывает напряжение 24 В.
Какой именно вольтметр показывает 24 В?
Что показывают остальные вольтметры?
Определите, где включен вольтметр с малым сопротивлением, а где "— вольтметры с большим сопротивлением.
▶ПодсказкаСкрыть
Переберите, какой из трёх приборов имеет малое сопротивление, и в каждом случае найдите показания по правилам Кирхгофа: сопротивления вольтметров велики, так что внутренним сопротивлением батарей можно пренебречь.
▶ОтветСкрыть
1) 24 В показывает первый вольтметр; 2) два остальных вольтметра показывают 0 В и 12 В; 3) малое сопротивление имеет третий вольтметр, а два других вольтметра имеют большие сопротивления.
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2016/17, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.