Стержень с шариками налетает на покоящиеся

После удара шарики движутся вместе; найдите скорости по закону сохранения импульса. Затем перейдите в систему центра масс: пары шариков вращаются по окружности.

Поскольку столкновения шариков абсолютно неупругие, после удара они будут двигаться вместе. Скорости шариков найдем по закону сохранения импульса: два верхних шарика будут иметь скорость \(2v/3\), два нижних — \(v/3\).

А поскольку скорости шариков будут разными, движение гантельки будет уже не поступательным. В системе отсчета, связанной с центром масс гантельки, ее движение есть вращение вокруг центра. Найдем скорости шариков в этой системе отсчета. Скорость центра масс равна \[v_c=\frac{1}{2}\left(\frac{2v}{3}+\frac{v}{3}\right)=\frac{v}{2}.\] Поэтому скорость шариков в этой системе отсчета равна \[v_{\text{верх}}=\frac{2v}{3}-\frac{v}{2}=\frac{v}{6},\qquad v_{\text{нижн}}=\frac{v}{2}-\frac{v}{3}=\frac{v}{6},\] (см. рисунок). Другими словами, каждая пара шариков массой \(3m\) движется со скоростью \(v/6\) по окружности радиуса \(l/2\) и, следовательно, сила натяжения стержня равна \[T=\frac{3m\left(v/6\right)^2}{l/2}=\frac{mv^2}{6l}.\]