Шар с застрявшей пулей

Разбейте падение на два участка: до попадания пули и после него. Сам удар короткий, поэтому в момент столкновения сохраняется импульс системы «пуля + шар». Дальше шар с пулей движется как тело с начальной скоростью, а из квадратного уравнения для времени выберите положительный корень.

1. Пусть шар падает с высоты \(H\). Тогда \(H=\dfrac{gt_0^2}{2}\) (1-1). Половину пути \(\dfrac H2\) шар проходит за время \(t_1\): \(\dfrac H2=\dfrac{gt_1^2}{2}\), откуда \(t_1=\dfrac{t_0}{\sqrt2}\) (1-2). Скорость шара в момент попадания пули \(v_0=gt_1=\dfrac{gt_0}{\sqrt2}\) (1-3).

2. Столкновение шара и пули. Обозначим скорость пули \(v\), скорость шара с пулей после столкновения \(u\), и запишем закон сохранения импульса: \(mv+Mv_0=(m+M)u\) (2-1). Проецируя его на оси координат, получим проекции скорости: \(u_x=\dfrac{mv}{m+M}\), \(u_y=\dfrac{Mv_0}{m+M}=\dfrac{M}{m+M}\cdot\dfrac{gt_0}{\sqrt2}\) (2-2).

3. Найдём время \(t\) падения тела с пулей с высоты \(\dfrac H2\): \(\dfrac H2=u_yt+\dfrac{gt^2}{2}\). Подставляя выражения (1-1) и (2-2), получим квадратное уравнение \(t^2+\dfrac{M\sqrt2}{m+M}\,t_0\cdot t-\dfrac{t_0^2}{2}=0\) (3-1). Из двух корней выбираем положительный, обозначим его \(t_2\): \(t_2=\dfrac{t_0}{\sqrt2\,(m+M)}\left(-M+\sqrt{(m+M)^2+M^2}\right)\) (3-2).

4. Полное время падения шара \(t=t_1+t_2=\dfrac{t_0}{\sqrt2\,(m+M)}\left(m+\sqrt{(m+M)^2+M^2}\right)\) (4-1).

5. Анализ предельных случаев. Если \(m\ll M\), то \(t=t_0\). Если \(m\gg M\), то \(t=\sqrt2\,t_0>t_0\). В случае, когда масса пули гораздо больше массы шара, время падения шара будет больше.