Пуля попадает в падающее тело

Поскольку после попадания пули в тело уменьшается вертикальная составляющая скорости системы тело — пуля (закон сохранения импульса), то время падения тела на землю увеличится.

Чтобы определить время падения тела на землю, найдем время падения \(t_1\) тела до попадания в него пули и время \(t_2\) движения тела вместе с пулей. Итак, пусть \(t_0\) — время свободного падения тела с высоты \(h\). Тогда первую половину пути тело пройдет за время \(t_1 = \sqrt{h/g} = t_0/\sqrt2\). В момент попадания в тело массой \(m\) пули массой \(M\) его импульс был направлен вертикально вниз и равен \[mv = mg\,t_0/\sqrt2.\] Попавшая в тело горизонтально летящая пуля не изменит вертикальной составляющей импульса образовавшейся системы, поэтому скорость системы тело — пуля в вертикальном направлении будет равна \[u = \dfrac{m}{m + M}\,v = \dfrac{m}{m + M}\,g\,\dfrac{t_0}{\sqrt2}.\] Оставшуюся половину пути система тело — пуля пройдет за время \(t_2\), которое можно найти из уравнения \[h/2 = ut_2 + gt_2^2/2.\] Откуда находим время \(t_2\): \[t_2 = \dfrac{t_0}{\sqrt2}\,\dfrac{\sqrt{m^2 + (m + M)^2} - M}{m + M}.\] Таким образом, общее время падения тела на землю будет равно (\(M \gg m\)) \[t = \dfrac{t_0}{\sqrt2}\,\dfrac{\sqrt{m^2 + (m + M)^2} + m}{m + M} \approx \dfrac{t_0}{\sqrt2}.\]