Два упругих шарика

Поскольку движение шариков происходит по вертикальной прямой, направим координатную ось вертикально вверх. Построим график зависимости проекции скорости шариков от времени на эту ось — рис. 1 для 1-го шарика (\(v_1(t)\)), рис. 2 для 2-го (\(v_2(t)\)) (моменты начала движения пока никак не связаны между собой). Эти графики

будут представлять бесконечный набор одинаково наклоненных (ускорение одинаковое) участков прямых. По оси времени эти отрезки отстоят друг от друга: для 1-го шарика на величину \(t_1 = 2\sqrt{2h_1/g}\), для 2-го на величину \(t_2 = 2\sqrt{2h_2/g}\). Так как по условию задачи \(h_1 = 4h_2\), то \(t_1 = 2t_2\), т. е. для 2-го шарика движение будет возобновляться вдвое чаще. Из соотношения начальных высот следует, что максимально достижимые шариками скорости также будут отличаться в два раза (см. рис. 1, 2): \[v_{1\max} = 2v_{2\max} = \sqrt{2h_1g} = v_0.\]

Для того чтобы скорости шариков совпали в какой-нибудь момент и по модулю, и по направлению, имеется две возможности. Либо впервые скорости шариков совпали спустя \(\tau = nt_1\) (где \(n = 0, 1, 2, \ldots\)) от начала движения в течение интервала времени \(t_1/4\), а потом они совпали спустя \(3t_1/4\) от начала движения и совпадали в течение интервала \(t_1/2\). Впоследствии с периодичностью \(t_1\) совпадение скоростей будет продолжаться в течение интервала времени \(t_1/2\). Другая возможность состоит в том, что 2-й шарик начал движение спустя время \(\tau = t_1/2 + nt_1\) (где \(n = 0, 1, 2, \ldots\)). Спустя интервал времени \(t_1/4\) скорости шариков впервые совпадают, и полное совпадение скоростей длится в течение интервала времени \(t_1/2\). Далее картина повторяется с периодичностью \(t_1\).

При других моментах начала движения 2-го шарика из-за кратности периодов повторяемости движений шариков графики скоростей не будут иметь общих точек, если их соответствующим образом «наложить», поэтому задача не будет иметь решений.