Путь камня за вторую секунду

Введём обозначение: \(t_0 = 1\) с. Поместим начало координат в точке бросания и направим ось \(y\) вверх. Возможны три случая, в зависимости от величины \(S\).

1. В течение первых двух секунд камень движется вверх, то есть \(v_0 > g\cdot 2t_0 = 20\) м/с. Тогда для первой секунды полёта путь \[S = v_0t_0 - (gt_0^2/2) > 3gt_0^2/2 = 15\text{ м}.\] Из написанного равенства следует, что \(v_0 = (2S + gt_0^2)/(2t_0)\).

К концу второй секунды полёта вертикальная координата камня будет равна \(y = v_0\cdot 2t_0 - (g/2)\cdot(2t_0)^2 = 2S - gt_0^2\). Следовательно, за вторую секунду камень пройдёт путь \(\Delta S = S - gt_0^2 > 5\) м.

2. В течение первой секунды камень движется вверх, а в течение второй секунды направление его движения изменяется. При этом, очевидно, \(v_0\) должно удовлетворять следующим условиям: \[v_0 - gt_0 > 0;\quad v_0 - g\cdot 2t_0 < 0,\] откуда \[gt_0 = 10\text{ м/с} < v_0 < g\cdot 2t_0 = 20\text{ м/с}.\] Тогда, аналогично первому случаю, \(v_0 = \dfrac{2S + gt_0^2}{2t_0}\), и, с учётом написанного выше условия для \(v_0\), получим: \(gt_0^2/2 = 5\text{ м} < S < 3gt_0^2/2 = 15\) м.

Камень остановится через время \(\tau = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{S}{gt_0} + \dfrac{t_0}{2}\). При этом \(t_0 = 1\text{ с} < \tau < 2t_0 = 2\) с. К концу промежутка времени \(\tau\) вертикальная координата камня будет равна \[y_{\max} = v_0\tau - \dfrac{g\tau^2}{2} = \dfrac{(2S + gt_0^2)^2}{8gt_0^2},\] а к концу второй секунды полёта координата камня будет равна \[y_{\text{кон}} = v_0\cdot 2t_0 - (g/2)\cdot(2t_0)^2 = 2S - gt_0^2.\] Таким образом, за вторую секунду камень пройдёт путь \[\Delta S = (y_{\max} - S) + (y_{\max} - y_{\text{кон}}) = 2y_{\max} - S - y_{\text{кон}} = \dfrac{5g^2t_0^4 - 8gt_0^2S + 4S^2}{4gt_0^2},\] и с учётом неравенства, написанного выше для \(S\), получим \[2{,}5\text{ м} < \Delta S < 5\text{ м}.\] При этом если камень останавливается строго в начале или в конце второй секунды полёта, то \(\Delta S = 5\) м, а если остановка происходит в середине второй секунды, то путь минимален: \(\Delta S = 2{,}5\) м.

3. Направление движения камня изменяется в течение первой секунды. При этом \(v_0 < gt_0 = 10\) м/с, часть пути \(S\) камень проходит вверх до точки остановки на высоте \(y_{\max} = \dfrac{v_0^2}{2g} = S_1\) за время \(\tau = v_0/g\), а оставшуюся часть — за время \((t_0 - \tau)\): \[S_2 = \dfrac{g(t_0 - \tau)^2}{2}.\] Таким образом, \[S = S_1 + S_2 = \dfrac{2v_0^2 - 2v_0gt_0 + g^2t_0^2}{2g} < \dfrac{gt_0^2}{2} = 5\text{ м}.\] Из последнего равенства получаем: \(v_0 = \dfrac{gt_0 \pm \sqrt{4gS - g^2t_0^2}}{2}\). Поскольку при этом должно выполняться неравенство \(4gS - g^2t_0^2 > 0\), то \(S > gt_0^2/4 = 2{,}5\) м. Окончательно получаем, что в третьем случае ограничения на величину \(S\) имеют вид: \[\dfrac{gt_0^2}{4} = 2{,}5\text{ м} < S < \dfrac{gt_0^2}{2} = 5\text{ м}.\] В конце первой секунды координата камня будет равна \[y_1 = v_0t_0 - \dfrac{gt_0^2}{2} = \pm\dfrac{t_0\sqrt{4gS - g^2t_0^2}}{2},\] а в конце второй секунды \[y_2 = v_0\cdot 2t_0 - \dfrac{g}{2}\cdot(2t_0)^2 = t_0\left(-gt_0 \pm \sqrt{4gS - g^2t_0^2}\right).\] Поскольку в данном случае в течение всей второй секунды камень падает вниз, то путь, пройденный им за вторую секунду, составляет \[\Delta S = y_1 - y_2 = gt_0^2 \mp \dfrac{t_0\sqrt{4gS - g^2t_0^2}}{2}.\] С учётом ограничений на величину \(S\) получаем: \(5\text{ м} < \Delta S < 15\) м.

Очевидно, что при \(S < 2{,}5\) м решения задачи нет.