Муфта на вращающейся штанге

Работа мотора в процессе перемещения муфты идёт только на увеличение её кинетической энергии, поскольку в условии сказано, что трение отсутствует. В процессе движения компонента скорости муфты, связанная с её вращением вместе со штангой вокруг оси \(OO'\), равна \(\omega R\), где \(R\) — текущее расстояние от оси до муфты. Таким образом, для увеличения кинетической энергии за счёт роста этой компоненты скорости муфты мотором будет совершена работа, равная \(A_1 = \dfrac{1}{2}m\omega^2(L^2 - l^2)\).

Чтобы муфта не смещалась по вращающейся штанге, на неё должна действовать центростремительная сила \(F_{\text{цс}} = m\omega^2R\), направленная к оси вращения. Поэтому, если вдоль штанги не действуют никакие силы, то смещение муфты будет происходить с радиальным ускорением \(a_R = -a_{\text{цс}} = \omega^2R\), направленным от оси вращения. Тогда за малый промежуток времени \(\Delta t\) радиальная компонента скорости муфты изменится на величину \(\Delta v_R = a_R\Delta t = \omega^2R\Delta t\). Ускорение \(a_R = \dfrac{\Delta v_R}{\Delta t} = \dfrac{v_R\Delta v_R}{v_R\Delta t} = \dfrac{v_R\Delta v_R}{\Delta R} = \omega^2R\), откуда имеем, что величина \(v_R\Delta v_R = \omega^2R\Delta R\), то есть \(\Delta(v_R^2/2) = \omega^2\Delta(R^2/2)\). Поэтому для увеличения кинетической энергии муфты за счёт приобретения ею радиальной компоненты скорости мотором будет совершена работа, равная \(A_2 = \dfrac{1}{2}mv_R^2 = \dfrac{1}{2}m\omega^2(L^2 - l^2)\).

Таким образом, полная работа, совершаемая мотором над муфтой при её перемещении от оси вращения с расстояния \(l\) до расстояния \(L\), равна \[A = A_1 + A_2 = m\omega^2(L^2 - l^2).\] Заметим, что часть кинетической энергии, связанная с движением муфты вдоль штанги со скоростью \(v_R\), при ударе о заглушку теряется, превращаясь в тепло.